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一群数学物理大牛争相解决的曲线问题,究竟什么来头?

撰文 | Ry Sullivan

翻译 | zhenni

审校 | Nothing

最近我学习了一种新的曲线――旋轮线(也称摆线,cycloid),来和我一起看看吧,你也会觉得很惊奇的。

我想我们所认识的大多数形状都时不时地出现在日常生活,很难发现新的形状。从小学起我们就已经认识了方形、圆形和三角形,后来又学习了双曲线、椭圆还有正弦曲线,但很多人都不知道这个形状……那就是我最近才发现的令人惊奇的――旋轮线。接下来我将与大家一起学习这个新形状。

什么是旋轮线?

在维基百科中,旋轮线被定义为“一个圆无滑动地沿一条直线滚动时,其边上一点运动的轨迹。”用下面这个动图展示可能会更加直观一些:

旋轮线就是圆在沿这条直线滚动时,边界上一点所行进的红色轨迹。这就是旋轮线?很简单对吧?并不是的。

旋轮线的历史

旋轮线有时候会由于其在数学家当中挑起很多纷争而被称为“几何学家的海伦”,纷争之一便是谁发现了这个形状。

最早的候选者之一是给毕达哥拉斯写传记的人伊安布利霍斯(Iamblichus,公元前245-公元前325年),其他的候选者还有包括德国的尼古拉斯-库萨(Nicholas of Cusa,公元1401-1464)、法国人Charles de Bovelles(1475-1566),意大利人伽利略(Galileo Galilei,1564-1642)、法国人马林・梅森(Marin Mersenne,1588-1648)等等一众博学的人。但没人能肯定谁才是最先发现旋轮线的人。

伊安布利霍斯是古希腊哲学家、长袍潮流引领人,也(可能)是旋轮线的发现者,显然旋轮线带来的名气不能让他拥有自己的半身大理石像。丨来源:https://en.wikipedia.org/wiki/Iamblichus

我想包括我在内的大多数人也只是知道伽利略是最早研究旋轮线并给它起名的人,他甚至用金属板制作了旋轮线的模型来研究旋轮线下的面积。如果那时候有微积分的话或许就容易一些了吧。顺便一提,发明水银气压计的托里拆利(Evangelista Torricelli)才是最终求解单条旋轮线下面积的人。

随着时间推移,旋轮线吸引了大批有名望的数学家,其中包括笛卡尔、费马、帕斯卡、牛顿、莱布尼茨、洛必达、伯努利、欧拉、拉格朗日等等我能一下子就叫上来的名字。

他们显然很喜欢创造一些关于旋轮线的竞赛和问题,之后再以相互攻击和辱骂结束。

帕斯卡(Blaise Pascal)早先就创造了一个关于求解旋轮线的重心、面积以及体积的比赛,并以西班牙金币作为奖金。可惜,三位评审认为没有人获胜。伦敦的圣保罗大教堂的设计者克里斯托弗・雷恩(Christopher Wren,1632-1723)递交了一份关于计算旋轮线长度的证明,虽然这不是竞赛的内容,但仍值得赞许。一位评委在多年后声称自己已经解决了这个问题但一直没有文字记载,于是引发了舆论战争。(起码雷恩通过了自己发表的成果获得了属于他的声誉。)

遗憾的是,伯努利(Johann Bernoulli)在1696年提出的挑战最终也以失败告终,之后我会给大家介绍。

利用数学更深入地了解旋轮线

我们已经对旋轮线的历史有所熟悉了,你可能会有些和伟人伽利略、雷恩一样的几何问题:旋轮线下的面积是多少?旋轮线的长度是多少?旋轮线到底是什么形状的啊?

还好我们有数学和发达的网络。

下面的参数方程可以表示出在一个圆前进时上面一点随时间(t)变化的用 x、y 坐标表示旋轮线轨迹, x、y 彼此独立,所以有两个方程:

x(t) = r(t?sin(t))

y(t) = r(1?cos(t))

为了更好地理解这两个方程,我们令 t = π . 此时 x(π) = r ( π ? sin(π) ) = r ( π ? 0 ) = πr . 因为圆的周长为 2πr ,此时圆滚动了半圈;这个点的高度为 y(π) = r ( 1 ? cos(π) ) = r ( 1 + 1 ) = 2r ,两倍的半径可以看出圆上这一点达到了滚动一周的最高点。

通过两个等式,我们就可以利用微积分来计算旋轮线的长度和面积了。利用网络的帮助和对早先数学知识的回忆,我利用不同颜色的笔完成了这个优雅的证明:

就像有关于圆的其他问题一样,这个解非常简洁,单条旋轮线下的面积是 3πr^?. 令人惊奇的是,伽利略对于旋轮线下面积(3πr^?)和圆面积(πr^?)的比值计算已经非常接近 3:1 了,而这个结果只是用非常老派的金属拼接方法来完成的。旋轮线的长度是 8r ,和雷恩老早就算出来的一致,之中没有 π 的影子。

这个结果可以说非常之优美。

物理中的旋轮线

旋轮线只是中看不中用吗?自然界中是否存在旋轮线呢?虽然不像其他几何学亲戚那样,但旋轮线仍然以一些神奇的姿态存在于自然界中。

让我们来回到前面提到的、伯努利在1696年向顶尖数学家们提出了他的问题:

我,约翰・伯努利(Johann Bernoulli),致全世界最聪慧的数学家们:

对于聪明的人们来说,没有什么比一个直白且具有挑战性的问题更具有吸引力的了,更别说这些解法可能会让他们声名鹊起,流芳百世。根据帕斯卡、费马等人提出的例子,我希望我也能通过提出一个现在最顶尖的数学家们考验自己头脑的技巧和力量的问题,来获得学界的感谢。如果有人能够给出我接下来的问题的解法,那么我将在公众面前表达对他的赞美。

这个人完全不认为自己在说大话――虽然“公开赞扬”听起来好像并没有西班牙金币有吸引力。接下来就是他的问题:

在一个垂直空间中有点 A 和点 B ,有一质点只受到重力的作用从 A 至 B ,它的轨迹经过什么样的曲线用时最短?

换句话说,如果有一个小球只受重力场的作用,在一个无摩擦力的轨道上从高一点的 A 点至低一点的 B 点运动( AB 连线不是竖直的),那么什么轨迹可以使小球运动的时间最短?

但考虑到伯努利用错误的方法推导出了正确的结果、又从自己的兄弟那里抄来了正确的推导,他的“奖励”变得有趣了不少。

伯努利给公众了六个月的时间去提交解答,但没有收到回应。莱布尼茨提议将提交的期限延长至一年半,在这个延长期里,牛顿完成了这个挑战。

据牛顿说,他是在1697年1月29日下午4:00从皇家铸币厂回家时收到的约翰・伯努利的信件的。他工作了整晚并在第二天以匿名的方式邮出了自己的正确解答,但由于这个解答太过于优秀、太过于“牛顿”,伯努利一下子就认出了“留下这个爪印的狮子”。

牛顿一晚上的解决时间打破了伯努利所用的两周的记录。牛顿在自己的信中加入了一些当时数学家爱表达的不屑:“我不喜欢被外国人在数学方面纠缠和取乐……”牛顿从来都不怎么讨人喜欢,可以说是不近人情。

牛顿,最不近人情的旋轮线数学家。丨来源:https://whatculture.com/offbeat/10-times-well-loved-scientists-were-total-jerks?page=10

这个牛顿和伯努利解出的最快路径被称为最速降落曲线(brachistochrone curve),来源于希腊语中的“最短时间”,根据这篇文章的主题相信大家也猜到了,这个路径就是旋轮线的一段,下面的动图用实验来展示这个问题:

动态图中的最速降线,永远是不同高度两点之间受重力作用下降最快的路径。最速降线在上图中为中间那条,下图中为红色曲线。

认识到自然界中一些图形的特点也太有趣了。

关于旋轮线的另一个插曲是等时降落曲线(tautochrone curve),来源于希腊语“同样时间”,你可以把一个小球放到这个曲线的任意位置,到达最低点所用的时间都是相等的。这个图形来源于半条旋轮线,下面这个动图展示了这个曲线:

等时降落曲线,旋轮线的另一种有趣的形式。无论你把小球放曲线上在哪个彩球的位置,它们到达底端所用的时间都相等。

还有一个叫旋轮线摆的东西,这个摆的顶端在两条旋轮线的交点位置。这个摆的线会沿着两个旋轮线弯曲,而这个摆扫过的线居然是另外一条旋轮线!

旋轮线摆在两个旋轮线之间创造出了另一条旋轮线。

我们还可以利用圆滚旋轮线来做很多变换。同样是在沿直线滚动向前的圆形,圆内或者圆外一点的轨迹可以变成更弯曲或平坦的曲线,做成可视化的图片如下图所示:

不同的旋轮线曲线。丨来源:https://www.researchgate.net/figure/Cycloidal-motion-and-examples-of-cycloids-Cycloid-blue-prolate-cycloid-red-curtate_fig12_304707433

接下来我们可以看到由滚动的圆形或其他图形绕某些图形所组成的旋轮线家族。

你也可以通过从任意高度掉落物体来创造一条旋轮线,这个物体相对于地球的下落轨迹是一条竖直的线,但由于地球是一个旋转的圆形,所以这个下落轨迹将会是一条轻微的倒旋轮线(虽然真得很轻微)![2]

文学中的旋轮线

在过去几个世纪中的文学作品中偶尔露面的旋轮线一定小有名气,虽然我不能列出所有的情况,但以下是从赫尔曼・梅尔维尔(Herman Melville)在1851年的经典作品《白鲸》中的一段:

在“裴阔德号”左手边的炼锅里,随着滑石在周围不住地绕圈,我突然第一次间接意识到一个事实,那就是所有在旋轮线上滑动的物体,以我的滑石为例,对于几何学来说,无论之前在哪一点,之后都会一同落下。

建筑中的旋轮线

可以看出旋轮线真的很有意思,我在想是不是在日常生活中还遗漏了一些旋轮线。

建筑由大量的几何图形组成。许多著名的拱都来源于圆形(古罗马拱)、椭圆形(半椭圆拱)、抛物线型(抛物线拱)以及悬链线(悬链线拱)。每种都有大量的例子,我从中挑选了几个非常有名的:

巴黎的凯旋门是半圆拱券,也被称为古罗马拱券(Roman Arch)。

跨过伦敦泰晤士河的邱桥(Kew Bridge)具有半椭圆拱,能够为船只和火车等交通工具创造较宽阔的跨度。

加州大苏尔美国一号公路的比克斯比桥具有抛物线拱。摄影:Alamy。

密苏里州圣路易斯的拱门是一个悬链线拱,由于重量分布均匀,是最坚固的拱形。

旋轮线看起来和拱很相似,所以有没有建筑用旋轮线拱的呢?根据网上的搜索结果,是有的,只是很少。有两个例子在介绍中反复出现:

第一个是美国德州沃斯堡的金贝儿艺术博物馆(Kimbell Art Museum)的屋顶,这个屋顶上的多个拱形是由一系列间隔的旋轮线组成的,这个滚轮构成的图形给予了它平滑的外观,非常适合一个艺术博物馆。

德克萨斯沃斯堡,金贝尔艺术博物馆的旋轮线拱。

第二个拥有旋轮线拱的建筑是达特茅斯学院中霍普金斯中心正面的拱,是我本科就读的学校,这让我产生了另外的思考:是不是我四年中每天都看到这个建筑,才为旋轮线如此着迷?

新罕布什尔州汉诺威,达特茅斯学院的霍普金斯中心正面的旋轮线拱。

艺术和娱乐中的旋轮线

可能你小的时候就已经“玩”过旋轮线了。万花尺(繁花曲线规)是基于一种被称为内旋轮线(hypocycloid)的一般旋轮线的玩具,不同于随直线滚动的圆,内旋轮线是“由附着在大圆内滚动的小圆上一定点的轨迹构成的特殊平面曲线”。

万花尺。丨来源:https://en.wikipedia.org/wiki/Spirograph

内旋轮线有两个特殊形式三角旋轮线(deltoid)和星状线(astroid),可以分别通过特定的小圆沿大圆内部滚动三周及四周获得。你可能会在一些标识上见过星状线。

两种特殊内旋轮线:三角旋轮线(上)和星状线(下)。

匹兹堡钢人橄榄球队的标识上包含 3 个星状线。

如果你觉得这种线条很令人舒适,有一些艺术家会利用多个不同尺寸组合滚动的圆来创造旋轮线艺术:

在Pinterest上的旋轮线艺术装置。

Kickstarter上售卖的旋轮线艺术品。

光学中的旋轮线

另一种旋轮线形式可以通过沿一个圆外部滚动的圆上一定点的轨迹构成。有一个特别的例子是心脏线(cardioid),是一个圆沿另一个半径相等的圆外运动其上一点的轨迹构成的图形,如下图所示,这个形状刚好有一个尖角类似于一颗心,也是它名字的来源:

心脏线是旋轮线的另一种类型。

心脏线在自然界中非常常见,特别容易出现在两个圆形表面创造的焦散(caustic)中。在光学中,焦散定义了一种“由于物体表面不平整或反射产生的光线包络线,或是其他表面的光线包络线(envelope)投影”的曲线或曲面,在这条线或面上,每条光线都与之相切,这些光线集中的位置就是光线包络线的边界。

从咖啡杯到手表等多个圆形物体产生的焦散中,我们可以看到心脏线。

下次早晨喝茶的时候一定要瞪大眼睛看看茶杯里的图形!

分形几何和混沌理论的框架曼德勃罗集合(Mandelbrot set)的中心区域的边界也是一个精确的心脏线,虽然我不知道具体的原因,但仍然是另一种心脏线表现形式。

曼德勃罗集合第一阶段的中心区域由一个完美的心脏线围成。

旋轮线的形状不止局限于圆形,你也可以沿一条直线滚动一个非圆形然后发现一个全新的图形――多边形转迹线(cyclogon),下面是三角形和方形滚动的转迹线:

一个等边三角形沿一条直线无滑动滚动所形成的转迹线弧。丨来源:https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclogon

一个正方形沿一条直线无滑动滚动所形成的转迹线弧。丨来源:https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclogon

宇宙中的旋轮线

旋轮线不只是在滚轮,手表,茶杯或是螺旋仪等日常尺度上的图形,它甚至可以达到行星尺度。木星的卫星木卫二欧罗巴(Europa,小圆)绕着巨大的木星(大圆)转动时,受到的引力(一条直线)在卫星上形成旋轮线,可以从欧罗巴卫星图像上的冰上裂痕中看出。这个裂痕和卫星轨道受到引力压力作用是一致的。

木星的卫星欧罗巴表面的旋轮线形。丨来源:https://www.science.org/doi/10.1126/science.1248879

欧罗巴表面的旋轮线形成。丨来源:https://www.researchgate.net/figure/Model-of-cycloidal-crack-formation-on-Europa-by-Hoppa-et-al-The-arrows-represent-the_fig6_13779479

总结

我希望你也从这篇文章中学到一些新图形的知识,毕竟旋轮线是一群很有意思的图形,在我看了一系列的旋轮线后,更想去深入认识身边的宇宙了……

参考文献

[1] Eli, Maor and Eugen Jost. “Twisted Math and Beautiful Geometry.” American Scientist.

[2]Lynch, Peter. “The curved history of cycloids, from Galileo to cycle gears.” The Irish Times. 17-Sep-2015.

本文经授权转载自微信公众号“中科院物理所”。原题目为《为了解决这个问题,大名鼎鼎的数学家不惜……》

原文链接:

https://medium.com/@rysullivan/celebrating-the-cycloid-be4350ff187b

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