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超大质量黑洞的密度竟低于空气?这是怎么回事?

众所周知,黑洞是一种连光都无法从其表面逃逸的致密天体,是致密天体之王!已知的三种致密天体中,另外两种:白矮星和中子星都无法与之相比。但在广义相对论里,黑洞却有着众多诡异特性,比如在黑洞内,时间和空间会发生互换、比如旋转的黑洞比静止的黑洞视界半径更小,其中一个让很多人感到意外的特性是:当它的质量增大到一定程度,它的密度会变得比空气还低……

广义相对论的光速牢笼――黑洞

这种诡异天体是德国科学家卡尔・史瓦西在求解爱因斯坦的广义相对论引力场方程时得到的一个特殊解。他把一些诸如静止、球对称等极端条件代入引力场方程得到一组精确解,被称为史瓦西解,利用史瓦西解可得到一个光速逃逸的半径公式,在这个公式里出现了两个奇异点,一个在天体的质量中心处,称为奇点,另一个在该半径处,称为奇面,后来科学家根据其性质(可观测和不可观测的临界面)把它称为事件视界,简称视界。同时把视界内不可观测的区域称为黑洞。

史瓦西半径公式――黑洞的半径与质量成正比

由于广义相对论求解极其困难,因此每一个得到的精确解都会以解出人的名字命名,因此史瓦西求出的这个解被称为史瓦西解,而从史瓦西解中得到的这个黑洞半径公式就命名为史瓦西半径公式。问题就出在这个黑洞的半径公式:R=2GM/c?

史瓦西半径公式的特别之处在于这个光速不能逃逸的黑洞半径是与质量成正比的,似乎并没有遵循引力的平方反比律。

球体积公式――球的体积与半径3次方成正比

而我们知道,球的体积与其3次方成正比,这是由空间的几何结构决定的。而物体的密度则由其质量与体积的比值决定,密度公式为р=m/V。那么当我们把三条公式联立得到黑洞的密度公式:р=3c?/8GπR?。也就是说黑洞的密度与半径的平方成反比!平方反比律又回来了。

诡异的事实:黑洞质量越大,密度越低

从上面的公式推算,我们得到一个诡异的事实:黑洞质量越大,密度反而越低!

道理我都懂,但为什么会这样呢?这也太反直觉了。密度公式和球体积公式我们其实都没有疑问,都是常识,所以问题就出在了前面那个史瓦西半径公式上了,黑洞的半径为什么是与质量成正比的呢?为什么质量与半径的平方成正比呢?

其实并没有那么诡异,原因就在于黑洞的半径是由其表面逃逸速度决定的,这个逃逸速度就是光速c,而不巧,虽然推导的方式不一样,但史瓦西半径公式与光速的逃逸速度公式是一模一样的!而逃逸速度公式里,质量M就是与半径成正比的。不信你看经典的逃逸速度公式:V=√(2GM/R)

逃逸速度决定了质量与半径成正比

如果原始公式大家看不出它们有什么共同点,我们来代入光速c做一个变换就明白了。

V=√(2GM/R)代入光速c得:c=√(2GM/R)

等号两边分别平方得:c?=2GM/R

看出来了吗?如果还看不出来,我们移项得:R=2GM/c?,这不就是史瓦西半径公式吗?

总结

从上面的推演可知,黑洞质量越大,半径也越大,密度就越小,当其半径大到一定程度,其密度就会低于空气。而出现这种情况的原因就是其半径并非由其实体表面确定,而是由光速这个逃逸速度确定,至于逃逸速度为何是这样的性质(质量与半径成正比),就不属于这篇文章的讨论范围了。

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