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庞加莱的狭义相对论之二:物理学定律的对称性

庞加莱1905年的两篇同题文章《论电子的动力学》,虽被主流学术界遗忘一百多年,但终究会被载入史册从而成为整个物理学经典中之经典。他所发现的洛伦兹群,已与量子观念一起构成了现代物理学公认的两大基石之一。他所建立的四维时空的赝欧几里得几何,让时间t与空间x,y,z 一样变为相对量,进而产生出同时性的相对性、时间膨胀、长度收缩等人们至今仍津津乐道的话题。他所建立的四维相对论运动方程,终结了牛顿运动方程对物理学长达两百余年的统治,使之变为狭义相对论的低速近似规律。他所证明的电动力学的完整协变性,让运动物体的电动力学从物理学前沿研究变成相关应用学科的必备基础,也变成大学课堂上聚讼纷纭的永恒主题。

撰文 | 金晓峰(复旦大学物理学系)

来源 | 本文选自《物理》2022年第4期

我们在上期《庞加莱的狭义相对论之一:洛伦兹群的发现》(《文一》)中,介绍了庞加莱《七月文章》的重要发现之一:洛伦兹变换(boost)与空间转动一同构成了一个群。这个洛伦兹群的存在,直接导致了四维时空的赝欧几里得几何(pseudo-Euclideang eometry),从而奠定了狭义相对论的运动学基础。在四维时空中看,两个惯性系之间的相

质让时间t与空间x,y,z一样变为相对量,并产生如“同时性的相对性”、“时间膨胀”、“长度收缩”等陌生而有趣的概念。百年之后回头看,对洛伦兹群发现的重要性怎么强调都不为过,因为它已与量子观念一起构成了现代物理学公认的两大基石之一。庞加莱的这一发现,或许可以看作是对毕达哥拉斯“万物皆数”的绝佳阐释,恰如著名数学家盖尔方特所说:“数学是文化的一部分,……优美、简单、精确和不可思议的思想这四个东西的组合,正是数学的核心。”

对于物理学定律对称性,费曼曾说:“我如此详细地谈论这个具体例子,是因为它开启了物理学定律的对称性研究。正是庞加莱,他提出了可以对方程做什么而使之不变的分析;也正是庞加莱,他主张对物理定律的对称性给予重视。空间平移,时间延迟等对称性并不很深刻,但是,由均匀一致速度带来的对称性却非常有趣,而且产生了一系列后果。不止于此,这些后果还可以被拓展到我们未知的定律之中。”(I bring this particular example up in such detail because it is really the beginning of the study of symmetries in physical laws.It was Poincaré’s suggestion to make this analysis of what you can do to the equations and leave them alone. It was Poincaré’s attitude to pay attention to the symmetries of physical laws.The symmetries of translation in space, delay in time, and so on, were not very deep; but the symmetry o funiform velocity in a straight line is very interesting, and has all kinds of consequences. Furthermore, these consequences are extendable into laws that we do not know.)那么,究竟什么是物理学定律的对称性呢?对称性对任何人都不陌生,日常生活中随处可见,比如,圆形的餐桌,正方形的地砖,左右对称的人脸等等,数不胜数。我们发现:任意一个对称的几何图形,总存在一些让图形保持不变(leave them alone)的操作(what you can do)。比如,将圆形的餐桌转过任一角度,图形不会变;将正方形的地砖转过90°、180°、270°、360°,图形也不变;将左(或右)半脸作镜面反射,图形也不变等等。用数学的语言讲,对任一给定的几何图形,保持图形不变的操作被称为对称操作,所有这些对称操作的集合可以构成一个群。换句话说,我们称这个几何图形具有该群的对称性。所谓物理学定律的对称性,即相应物理公式的对称性,顾名思义,也就是保持方程形式不变的对称操作,这些操作也构成一个群;类似的,我们也称这个物理学定律具有该群的对称性。下面我们将会看到,庞加莱在《七月文章》中如何具体证明麦克斯韦―洛伦兹方程组等一系列物理定律具有洛伦兹群的对称性,这正是费曼所说的“It was Poincaré’s suggestion to make this analysis of what you can do to the equations and leave them alone. It was Poincaré’s attitude to pay attention to the symmetries of physical laws.”其中,他最先发现了电磁作用量的洛伦兹不变性(the invariant action)。十多年后的1918年,Emmy Noether正是从研究对称操作下的作用量不变性出发,揭示出对称性与守恒量之间的密切关系 (Noether定理),充分彰显了物理学定律的对称性研究之重要性。同时,正是基于对方程的对称性要求,庞加莱发现了电子的四维相对论运动方程这一原本并不存在的全新方程,这也正如费曼所说的“But the symmetry of uniform velocity in a straight line is very interesting, and has all kinds of consequences. Furthermore, these consequences are extendable into laws that we do not know. ”

本文接下来将详细介绍庞加莱《七月文章》的下述两项重要成果:(1)严格证明电动力学的完整协变性。庞加莱不仅证明了麦克斯韦方程组的协变性,而且还证明了带电粒子运动方程的协变性,从而彻底解决了长期争论不休的动体电动力学这个难题。(2)发现电子的四维相对论运动方程。庞加莱首先证明了作用量的洛伦兹不变性,并以此为基础获得了电子的四维相对论性运动方程,一举奠定狭义相对论的动力学基础,从此终结了牛顿运动方程对物理学长达两百余年的统治,使之成为狭义相对论的低速近似规律。

1矢量的洛伦兹变换

意识到四维时空具有洛伦兹群的对称性极其重要,它直接导致了一系列影响深远的重要后果,或许这就是数学“不可思议的思想”。庞加莱正是从这里出发,严格证明了电动力学定律具有洛伦兹群的对称性;必须强调指出,电动力学完整的协变性,不仅包含麦克斯韦方程组的协变性,而且还包含带电粒子运动方程的协变性。下面我们将看到,洛伦兹和爱因斯坦都证明了无源麦克斯韦方程组的协变性。对于有源麦克斯韦方程组,洛伦兹做错了,而爱因斯坦只证明了它们与相对性原理是兼容的(爱因斯坦原话的英文翻译是agree with),只有庞加莱严格证明了它们的协变性,即由洛伦兹变换从S系中的方程组严格导出S′系中形式完全相同的方程组。对于带电粒子的相对论运动方程,爱因斯坦没能得到,而庞加莱得到并证明了它的协变性。

图1 二维空间的转动示意图

难道庞加莱有什么“独门神器”吗?别说,他还确实有,那就是四维时空的赝欧几里得几何!为了清楚地说明这点,让我们以二维空间的转动为例[1]。如图1所示,将(x,y)坐标轴逆时针旋转φ角度可得(x′,y′)坐标轴,矢量r在这个转动过程中保持不变,它在S′系和S系的关系式如下:

显然,若没有四维时空的图像,这个结果是不可想象的。接下来我们将会看到,这一矢量变换式在相对论动力学中起了至关重要的作用,这也可以算是庞加莱的“独门神器”吧。

庞加莱当然非常清楚这一点。在《文一》中笔者曾经指出,他显然比任何人都清楚《七月文章》的第4节应该放在第1节才是顺理成章的文章写法,但为了避免“喧宾夺主”,他没有这么做。或许不少读者对此不以为然,认为这只是笔者的过度解读而已。事实上,庞加莱在《六月文章》(即《七月文章》的详细摘要)的引言(背景介绍)之后,紧接的是下面这段话(完全是第4节的结论):

“在这个(洛伦兹)变换中,x轴扮演了特殊的角色,但我们显然可以构造这样的变换,在这里某一条通过原点的直线将扮演这个角色。所有这样的变换加上所有的空间转动的整个集合构成了一个群;但这必须要求l=1,这正是洛伦兹用另一种方式得到的结果。”

首先,庞加莱更正了洛伦兹1904年文章中的两个错误。当然,一如既往,他不说洛伦兹做错了,而是说“(我)这里的公式与洛伦兹之前得到的不太一样(different somewhat)”,典型的庞加莱风格!因为要证明有源麦克斯韦―洛伦兹方程组的协变性,所以必须要知道电荷密度ρ与电流密度ρu在洛伦兹变换下如何变换,这是问题的核心也是难点。下面是庞加莱的正确结果:

其次,庞加莱给出了洛伦兹变换下力的正确变换公式。必须指出,无论是证明(庞加莱版本)或者说明(爱因斯坦版本)有源麦克斯韦方程组的协变性,相对于证明无源麦克斯韦方程组的协变性,都是一个重要进展,但这还不是电动力学或电磁规律的完整协变性。只有在进一步证明带电粒子在电磁场中的运动方程也是协变的,电动力学的协变性才算完整;这当然要以能得到电子相对论运动方程,即超越牛顿第二定律的运动方程为前提。在当今的教科书和文献上,相对论运动方程几乎都被冠以爱因斯坦的名字,但不得不说,这个方程与爱因斯坦真没关系,因为至少到1907年他还不知道如何对力进行变换(具体内容见后)。下面是庞加莱对三维力的变换结果。

2麦克斯韦方程组的完整协变性

庞加莱《七月文章》第1节是“洛伦兹变换”,他一口气罗列出下面11个他称作基本方程的公式:

然后根据下列洛伦兹变换式:

逐一证明了这11个方程的协变性,即在S系中成立的公式,经洛伦兹变换后,在相对于S系沿x方向以v运动的S′系中形式完全不变(只是相关物理量从不带撇的变成带撇的而已)。

我们不打算重现他的全部证明,仅仅给出下面几个爱因斯坦1905年文章中没做(如I)或做不了(如II和III)的证明。

由此便能证明:

以及

其中(E′,H′)与(E,H)的关系如下:

庞加莱在第1节最后有下面的一段讨论,有趣而且重要,因此我们直接将原文翻译如下:

“假如电子的惯性(笔者注:即质量)是纯电磁起源的,而且假定它们只受电磁力的作用,那么在电子内部的平衡条件:f=0,根据力的变换式(4),这等价于f′=0。因此,平衡条件不受(洛伦兹)变换的影响。不幸的是,这样一个简单的假定是不允许的,因为如果我们假设u=0,便意味着E=0。这样??E=0,也就是ρ=0 (笔者注:推出了电子不带电的荒唐结果)。

类似的结果对一般情况(general case)也成立。所以,我们必须认为不仅仅只存在电磁力,而且应该有其他的力或约束。我们因而必须确定支配这些力或约束的条件,使得电子的平衡不受(洛伦兹)变换的影响,这将会在之后的一个章节中来做(笔者注:第6节)。”

这段话包含了两个非常重要的信息。一方面,由力的变换式(4)可知,f=0这个等式相对于洛伦兹变换是协变的,这就明确表示,牛顿第一定律或说惯性定律对于经典力学和相对论力学同样适用。这就是为什么在狭义相对论中,这个从经典力学发展而来的惯性系概念也是整个新理论的基础。由于惯性定律常常冠以伽利略的名字,因此当狭义相对论的四维时空观,颠覆了伽利略时空观(绝对时间),而将其视为一种极限情形(光速→∞)时,不免容易造成误解,以为惯性定律(牛顿第一定律)也不成立了。另一方面,庞加莱的结果表明,由于同性电荷的排斥作用,一个稳定的电子,除了电磁力外,必定存在非电磁的其他力来平衡同性电荷排斥力。值得提醒一下,庞加莱的“电子”(electron)一词,在其所有著作中都不仅仅用来指代我们今天所讲的电子,它同样适用于我们今天所讲的原子核以及正负离子,实际上与我们今天所说的无论带正电还是带负电的“带电粒子”更加吻合。他的《六月文章》和《七月文章》都以“On the dynamics of the electron”为标题,把它翻译成“论带电粒子的动力学”实际上更合适。

顺便说一下,洛伦兹的电动力学理论被称为洛伦兹电子论,这里的电子也作同样理解,它既指带负电也指带正电的带电粒子。特别是,麦克斯韦―洛伦兹方程组又被称为微观的麦克斯韦方程,就是因为在这组方程组的模型里,只有处于确定空间位置的带正负电荷的粒子及其它们的运动(构成电流),剩下的就是真空(以太)。正像朗道的《连续介质电动力学》第一页上所说:“连续介质电动力学的基本方程组是通过对真空中的电磁场方程组进行平均而得到的。这一从微观得到宏观方程组的方法是由洛伦兹于1902年最先使用的。”简言之,宏观麦克斯韦方程组可由微观麦克斯韦―洛伦兹方程组平均而来。正因为后者比前者更加基本而且普遍,所以狭义相对论的奠基者洛伦兹、庞加莱、爱因斯坦事实上都是针对麦克斯韦―洛伦兹方程组来展开讨论的。这也是为什么朗道理论物理系列教程,在第二册《经典场论》中先讨论麦克斯韦―洛伦兹方程组,然后在第五册《连续介质电动力学》中讨论宏观麦克斯韦方程组的道理。

3最小作用量原理

庞加莱《七月文章》的第2节和第3节分别是“最小作用量原理”和“洛伦兹变换与最小作用量原理”。他比任何人都敏锐地意识到,最小作用量原理与洛伦兹群是否兼容是一个非常重要的问题,这正是他在第3节中关注的核心问题。他首先在第2节中将整个麦克斯韦电动力学建立在最小作用量原理之上,然后在第3节中严格证明了作用量是洛伦兹变换下的不变量,这为接下来讨论电子的相对论动力学奠定了基础。

从最小作用量原理出发,庞加莱得到了电磁场的作用量表达式

4经典电子模型的庞加莱张力

原则上,庞加莱在第4节“洛伦兹群”中已严格证明l=1是唯一正确的结果,即只有洛伦兹模型是正确的。同时,庞加莱比任何人都清楚,不同参照系之间的长度和时间相对性,完全是基于光速不变及各向同性公设(postulate)的测量问题(我们将会在下一篇文章《文三》中详细讨论),换句话说,是一个纯粹的运动学问题。那么,对一个已经有明确答案的运动学问题,庞加莱为什么还要从动力学的角度,花那么大的功夫去讨论呢?这不显得有点画蛇添足吗?

事实上,庞加莱在这里探讨了一个非常深刻的问题,充分体现了他作为大数学家、大数学物理学家的“不可思议的思想”。他关心的问题是:如果洛伦兹模型是正确的,那它与物理学最重要的基本原理之一――最小作用量原理――兼容吗?为此,他考察一个最简单的情况:对于一个在S系中作匀速直线运动的电子,它的能量、拉格朗日量和动量应该如何表达?由于这三者不是相互独立的,所以考察它们之间的关系,可以用来判断上述三个模型与这一作用量原理的兼容性。如果我们就此打住,让读者自己猜一下庞加莱得到的答案,估计会让绝大多数人大跌眼镜。完全出乎预料,朗之万模型竟然是唯一能与这个从作用量角度出发的基本原理兼容的模型!换句话说,庞加莱从动力学角度得到的结果与从运动学角度得到的结果完全矛盾!这就回到了庞加莱在第1节末尾说的那段话:

“所以,我们必须认为不仅仅只存在电磁力,而且应该有其他的力或约束。我们因而必须确定支配这些力或约束的条件,使得电子的平衡不受(洛伦兹)变换的影响”。

这就是所谓庞加莱张力的来源。没有它,不仅电子不可能稳定存在,而且电子模型跟狭义相对论也不可能相容。为了解决这一矛盾,庞加莱这么说:

“因此我们这样表述下列问题:除了电磁力外,我们必须引进什么样的附加力,可以得到洛伦兹的模型,或更一般地说,得到不同于朗之万模型的结果。”

在引进了附加势之后,洛伦兹模型得到了挽救,而朗之万模型就变得不合理了(引起了发散)。最重要的一个结论是:这个附加力(也就是庞加莱张力)正比于电子的体积,它相当于一个负压,补偿了同号电荷间相互排斥引起的电子不稳定性,至少定性解释了为什么自然界确实存在稳定的电子,同时还与洛伦兹群的对称性完全兼容。

虽然庞加莱在此更多是着眼于理论的自洽,而不是有关电子质量的电磁或非电磁起源,但由他引进的庞加莱张力却在之后几十年的粒子物理研究中成为一个重要问题,在物理学史的重要性不言而喻,详细讨论可见《费曼物理学讲义》第二册第28章[3]。虽然经典电子模型今天已经过时,而且电子的质量起源,至少就其主要部分而言也不是电磁的,而是源于电弱统一理论中的规范对称性自发破缺,有兴趣的读者可参阅卢昌海博士的文章《质量的起源》[4]。但有趣的是,庞加莱张力与此并不矛盾,因为将电子看成点电荷后,庞加莱张力也自然趋近于零。事实上,这与麦克斯韦―洛伦兹方程组的基本特征完全吻合,正像David Griffiths在其《电动力学导论》教科书中所说:“以电荷密度和电流密度的形式表达的麦克斯韦电动力学,一个点电荷必须被看作是尺度趋近于零的一个广延电荷。”[5]

5带电粒子的相对论运动方程

庞加莱《七月文章》第7节“缓慢加速的运动”(quasi-stationary motion)是继第4节“洛伦兹群”之后的又一华彩乐章,在这里庞加莱发现了电子的相对论性运动方程,从此结束了牛顿运动方程长达两百余年的统治。他这样开头:

“尚待考察的是,这样一个电子收缩的假定(笔者注:即洛伦兹收缩)是否可以解释绝对运动的不可能性(笔者注:即相对性原理),我将从研究一个孤立电子,或说处于远处其他电子作用下电子的缓慢加速运动开始。(It remain to be seen if this hypothesis on the contraction of electrons accounts for the impossibility of manifesting absolute motion, and we shall begin with studying the quasi-stationary motion of an isolated electron, or one subjected only to the action of other distant electrons)。”

这段话很重要,而且在我们之后的《文三》和《文四》中还会涉及,因此将原文附上,以免误解。这里只想简单提一句,hypothesis在庞加莱的语义中有三种不同的意思(见庞加莱的《科学与假设》),此处所用只是指尚待经验确认的事实,而绝非以它作为前提来推导什么结果。

接着庞加莱明确解释了由Abraham(1902年)引入的“缓慢加速的运动”这一概念的含义。要点有二:(1)电磁辐射可以忽略,(2)只计及拉格朗日量对电子运动速度的偏导数而忽略对加速度的偏导数。这样的电子满足运动方程:

接着庞加莱又证明了上述相对论运动方程(16)式在洛伦兹群下是协变的。至此,庞加莱真正严格证明了电动力学的完整协变性:不仅麦克斯韦方程组,而且带电粒子的运动方程都具有洛伦兹群的对称性。他确实干净彻底地解决了电子的动力学问题,这与他《六月文章》和《七月文章》的题目《论电子的动力学》完全契合。同时,他所建立的四维时空,四维时空不变量,四维矢量等概念,之后又成为闵可夫斯基工作的基础。因此,可以毫不夸张地说:在1905年,庞加莱凭一己之力,是世界上唯一既建立了狭义相对论运动学,又建立了狭义相对论动力学的人。同一年中的爱因斯坦,确实独立建立了狭义相对论的运动学,可他的电子运动方程做错了,而且电子的横向质量m⊥也做错了(见爱因斯坦1905年原文[8])。1906年普朗克成为历史上得到电子相对论运动方程的第二人,而正确的相对论运动方程第一次出现在爱因斯坦的文章中已是1907年的事了[9],他如此写到:“按普朗克的方式来定义力。质点运动方程的重新表述,如此清楚地证明了它们与经典力学运动方程的相似性,也取自普朗克的工作。”(“Force is defined as in Planck’s study.The reformulations of the equations of motions of material points, which so clearly demonstrated the analogy between these equations of motion and those of classical mechanics,are also taken from that study.)显而易见,爱因斯坦自己也认为将牛顿第二定律推广到相对论运动方程这一步不是他的贡献。

在正式引用庞加莱的下列总结性陈述之前,笔者注意到:无论是杨振宁先生[10],还是A. Pais[11]在讲到庞加莱没有达到相对论时都引用庞加莱1904年在St Louis大会上的发言。不错,庞加莱在1905年6月之前确实还没有达到相对论,但在1905年6月之前爱因斯坦不也没有达到吗?显然,将1904年的庞加莱与1905年6月之后的爱因斯坦做比较既有失公平也没有意义。事实上,不可能有任何人在读了庞加莱的下列陈述后仍会认为他在《七月文章》中没有达到相对论:

“因此,洛伦兹的假定(笔者注:l=1)才是唯一能与绝对运动之不可能性(笔者注:即相对性原理)兼容的假定;如果一个人承认这种不可能性,那他必须承认运动着的电子会沿运动方向收缩成一个旋转椭球,其他两轴的长度不变;他还必须承认,正像我们在上一节中展示的那样,存在一个正比于电子体积的附加势。洛伦兹的分析被完全证实了,但我们可以更好地解释其背后的真正原因:这个原因必须从第4节内容中去寻找。那些不改变运动方程的变换构成一个群,而且只有在l=1时才成立。就像我们不可能意识到一个电子是处于绝对静止状态还是绝对的运动状态,我们必须要求当一个电子处于运动时,它将会发生形变,准确地按照这个群的相应变换强加给它的那样去进行变化。”

从这段原话我们不难看出,(1)庞加莱显然很明白,他的第4节是整个狭义相对论最核心的内容,特别是,洛伦兹群和四维时空的概念是理解洛伦兹收缩的基础,进而使绝对运动之不可能性成为一个不可动摇的事实。(2)在一个不存在绝对运动的世界中,一切相对匀速直线运动的惯性系,都以洛伦兹群相互关联着,这使得在任一惯性系中为真的物理定律(公式),在其他惯性系中也一定为真,即定律(公式)的形式在其他惯性系中保持不变。这就是所谓物理定律必须具有洛伦兹群对称性的真正含义。

至此,我们对庞加莱1905年狭义相对论(《六月文章》和《七月文章》)的介绍就全部结束了。下面用几句话再次总结一下他对狭义相对论的原创性贡献:(i)他首先发现了洛伦兹群;(ii)首先建立了四维时空的赝欧几里得几何;(iii)首先证明电磁作用量的洛伦兹不变性;(iv)首先建立了电子的相对论运动方程;(v)首先证明了电动力学的完整协变性。

最后,我们对后两篇文章的主题做一交代。在下一篇文章(《文三》)中,将详细介绍庞加莱在通往狭义相对论之路上的重要思想和观念(1905年前),特别是,他如何看待以太,如何看待运动,如何看待时间和空间,如何看待相对性原理和光速不变原理,如何看待科学中的假设、定律和原理,以及如何评价一个科学理论等;在最后一篇文章(《文四》)中,将详细介绍庞加莱与洛伦兹、爱因斯坦、闵可夫斯基等同时代人在相对论问题上的交流及其互相影响。

参考文献

[1] Arfken G B,Weber H J. Mathematical Methods for Physicists,4th edition. Academic Press,1995

[2] Panofsky W K H,Phillips M. Classical Electricity and Magnetism,2nd edition.Dover Public