小平邦彦:命运的偶然,让我来到普林斯顿

平时总说自己懒的日本数学家、菲尔兹奖和沃尔夫奖双料得主的小平邦彦,在战争时期写出了《黎曼流形上的调和张量场》的论文,最终他因为这篇论文被外尔邀请到普林斯顿高等研究院。在普林斯顿,他经历了许多有趣的事情,后来他还找到了数学研究“发现”的心理。

撰文 | 小平邦彦

翻译 | 尤斌斌

我从物理系毕业后(编者注:他先考入了东京大学数学系,后因对当时量子力学的兴趣以及因战争要推迟毕业而考物理系)被外尔(Hermann Weyl)的黎曼曲面理论吸引,仔细阅读了他的名作《黎曼曲面》。我后来一直想着能不能将这个理论扩张到高维空间,“黎曼曲面”中关于实调和函数的内容实际上是二维调和向量场理论。我先尝试将这部分内容扩张到高维空间,发现运用德拉姆定理、阿达马的偏微分方程基本解以及外尔的直交投影法就可以轻松实现定理扩张。我决定以后再慢慢撰写详细的论文,暂且先将结论归纳成题为《黎曼流形上的调和张量场》的论文,并拜托高木贞治老师帮我发表在1944年的《日本学士院欧文纪要》上。

最近,在黑洞的科普读物中经常会提到弯曲的空间,不懂数学的读者可以将黎曼流形理解成将弯曲空间的维度变高的东西,而调和张量场可以理解为在该空间中扩展开来的电磁场。

我在疏散地诹访继续撰写更详细的论文,在长子住院的上诹访日赤医院的病房里,在被臭虫骚扰下终于写完了最后一页。这篇长论文一时半会儿也无处发表,于是到了第二年,即1948 年,角谷静夫说他在驻日美军中有认识的人,可以拜托那个人帮我投稿到《数学年鉴》。当然,我也担心让完全不懂数学的人帮忙投稿是否可行,不过既然论文在日本毫无发表的机会,只好一试。

结果我在10月收到了《数学年鉴》总编莱夫谢茨(Solomon Lefschetz)教授发来的用稿通知,论文于第二年即 1949 年发表在了《数学年鉴》上。

话说回来,连我自己也不明白,为什么那时候一直在拼命写这篇毫无发表可能的论文。

前往普林斯顿

我听说普林斯顿高等研究院的研究员不用履行什么义务,可以做自己喜欢的研究,我心里想着,如果有机会离开粮食短缺的日本,前往物资充足的美国普林斯顿高等研究院,那该有多好啊!不过我生性懒惰,从未想过自己提交申请。

1948 年的春天,菅原正夫老师告诉我,他已经拜托高木贞治老师帮我给高等研究院的外尔教授写推荐信。半年后,我收到了外尔教授寄来的邀请函,问我愿不愿意前往高等研究院,时间从1949年9月开始,为期一年。于是,我马上跟菅原老师一起去高木老师家道谢,结果高木老师却不慌不忙地说:“哎呀,我太懒了,其实到现在还没动笔写推荐信呢!”我不禁感慨,原来所谓的大家都如此悠然。

外尔教授之所以给我寄邀请函,想必是因为对我那篇调和张量场的论文产生了兴趣。如果我没写这篇发表无门的论文,或者即使我写了,但如果没有角谷托人帮我投稿到《数学年鉴》,我可能没机会去美国,应该会一辈子都在日本自由自在地生活吧。人的命运,似乎总是会被偶然之事改变。

赴美手续很麻烦。当时日本被美军占领,签发护照的不是日本政府,而是麦克阿瑟司令部。那时候也没有旅行社,只能自己多跑几趟位于横滨的美国领事馆办理手续。申请签证时需要在筑地的圣路加医院体检,生病的人会被拒签。

体检非常严格,需要拍胸片,还得检查肚子里是否有蛔虫,当时我喝了药效很强的蛔虫药。说起来有些恶心,在我回家的路上,蛔虫受不了药从肛门爬了出来,顺着我的裤管掉在了地上。我感到腿上一丝冰凉,一看原来是长约30厘米的大蛔虫。

1949年8月9日, 我乘坐“威尔逊总统号”客轮从横滨出发前往美国,同行的还有朝永振一郎老师,他是受奥本海默(Oppenheimer)的邀请前往普林斯顿高等研究院。我们住的是三等舱,房间是六人间,床是上下铺。

我们路过夏威夷时,遇到了船员罢工事件,原计划只在当地停留一天,结果却延长至三天。夏威夷大学的年轻物理学家岛本前来拜访朝永老师,他热情地招待了我们。在这三天里,我们乘坐小汽车在夏威夷观光,岛本还请我们吃了日料和中餐。他告诉我们夏威夷没有小偷,所以外出时家里不需要上锁,这也太厉害了。

在夏威夷大学,我们走进了某位物理助理教授的办公室,发现基本粒子的专业期刊《物理评论》被杂乱无章地堆放在纸箱里。岛本对朝永老师说:“这位老师完全不读《物理评论》,您有什么想要的话,可以直接拿走。”朝永老师一边应着“我来找找看”,一边从纸箱中挑了三四本带走了。

我们花了两个星期到达旧金山,接着从旧金山坐飞机到了芝加哥,在芝加哥大学见到了大数学家安德烈・韦伊(André Weil)。沾了朝永老师的光,我还见到了著名的物理学家费米(Fermi),他请我们吃了午餐。

我们再从芝加哥坐火车到了纽约,普林斯顿距离纽约大概需要1个小时的车程。我们差不多在纽约待了一个星期,9月9日,在从日本出发刚好一个月后,我们乘坐高等研究院派来的专车到达普林斯顿。很快,我们见到了外尔教授和所长奥本海默。

外尔教授堪称是 20 世纪最后一位研究领域宽广的大数学家。他不仅从事数学研究,还涉足物理学乃至哲学。爱因斯坦发表一般相对论后没多久,他就撰写了《空间、时间、物质》探索统一场论;量子力学一问世,他又立马撰写《群论与量子力学》。他一生学术成果颇丰,一共发表了160多篇论文,出版了16本专著。

外尔为小平邦彦颁发菲尔兹奖奖牌丨图片来源:mathsoc.jp

第一次见到外尔教授本人时,他身材高大,长着一张圆脸,是位体态文雅的绅士,同时看起来又像是性格亲切的大叔,总是笑脸迎人。外尔教授见我英语这么差,大吃了一惊,他盯着我的脸说:“等第二学期英语变好一些,你来开个讨论班吧。”

当时的高等研究院有五名数学教授,分别是外尔、维布伦(Oswald Veblen)、莫尔斯(H. C. Marston Morse)、西格尔(Carl Ludwig Siegel)和诺伊曼(John von Neumann)。还有四名研究员,分别是哥德尔(Kurt G?del)、亚历山大(James Waddell Alexander II)、蒙哥马利(Deane Montgomery)和塞尔伯格(Atle Selberg)。此外,还有四十名像我这样签约一年的短期研究员。确实如听说的那样,短期研究员不用履行什么义务,甚至不用去研究院,唯一的条件是必须住在普林斯顿。

那时的普林斯顿是一座仅有1万人口的大学城,普林斯顿大学坐落于主干道的一侧,另一侧的餐厅、杂货店鳞次栉比。研究院为朝永老师和我准备的宿舍位于郊外,是一栋三层的小木楼。研究院在距离市中心2千米之外的森林里,是一栋“コ”字形的建筑,中间的主楼有四层,两侧的副楼有两层。分配给我的办公室位于其中一栋副楼的二楼,视野开阔。普林斯顿虽然寒暑变化剧烈,但天冷时室温会自动调整至22度,环境非常舒适,这在当时的日本简直无法想象。

高等研究院

我每天上午差不多 10 点去研究院,从宿舍可以坐公交到研究院,不过走路也只要 25 分钟左右。到了以后在办公室看书或写论文,12点便去位于4楼的餐厅用餐。外尔教授也会到食堂用餐,跟我们这些年轻研究员一起吃午饭。我听不懂英语,但他很爱讲笑话,逗得大家笑成一团,只有我一个人愣在一旁。从欧洲来的人觉得写比说更难,他们无法理解我能用英语写论文,却无法用英语交流。

甚至有人问我:“你的英语论文,真是自己写的吗?”这让我无言以对。外尔教授好像觉得我不会说英语这件事很有趣,就说:“明年要请你在讨论班上讲英语,哈哈哈。”

不过就算不懂英语,办事也没有什么困难。秘书伊格尔哈特女士会帮我做所有事,比如代办银行手续、给信件打字等。她出生在日本的轻井泽,还在我太太曾经上过的香兰女校教过音乐,我太太还上过她的课。没想到世界竟然这么小。

高等研究院从5月上旬到9月下旬放暑假,从9月底开始陆续开课或开讨论班。我去听了西格尔教授讲授三体问题的课程,一周3次,每次1小时。他英语讲得很慢,而且再复杂的公式,他都不用看笔记,仿佛全部都刻在脑中。后来在我任职于约翰斯・霍普金斯大学期间,有一次西格尔教授来学校举办谈话会结束后大家一起去吃了中餐。在饭桌上闲谈时,西格尔教授不经意地说:“我从上午 9 点开始学习数学,经常由于太过专注,直到半夜12点都忘记吃饭,只好在半夜把一天的份全吃了,搞得胃老是不舒服。”这绝对不是我能达到的境界,非常人能及。

同年10月初,普林斯顿大学的斯宾塞(Donald C. Spencer)教授托人传话说想见我。他一见我,就说想组织一个讨论班讨论我写的那篇调和张量场论文。我以不会说英语为由拒绝了,但他反驳说:“你刚说的这句话不就是英语吗?”于是,在10月中旬举行了第一次讨论班。既然是讨论班,我本以为是别人来讲我的论文,结果是我自己来讲解论文内容,这跟上课没什么区别。当时我做梦都想不到,这个讨论班开启了今后十多年我和斯宾塞合作研究的序幕。

到了11月,我们从新闻上得知汤川秀树老师获得了诺贝尔奖,于是我和朝永振一郎老师一起赶去纽约,上门向他道贺。回去路上碰到了《每日新闻》的记者,他希望汤川、朝永两位老师和我共同举办一次座谈会。不过朝永老师完全不为所动,最终大家没有达成共识。朝永老师打心底里讨厌出现在报纸上。

第二天晚上,在普林斯顿的餐厅里举办了汤川老师获得诺贝尔奖庆祝会,我和朝永老师二人也举杯祝酒。朝永老师喝醉后变得很健谈,他说了很多以前的故事,比如第二次世界大战前自己曾经在德国留学,那时经常去看电影打发时间,同一部新闻电影总看两遍,后来才发现自己看过度了。还有海森堡曾经邀请他一起吃晚饭,他嫌麻烦就拒绝了,大家肯定觉得他很奇怪。最后他对我说:“要是我获得了诺贝尔奖,一定分你一半。”

11月中旬,所长奥本海默家定期举办了鸡尾酒会,研究院的研究员悉数到场。到了晚上7 点左右,我打算回宿舍,于是到处寻找朝永老师,结果发现他躲在一个角落狼吞虎咽地吃着下酒菜。他解释说:“回宿舍后再出去吃饭很麻烦,还不如在这里吃点儿再回去。”准备离开时,一位名叫贝特曼的年轻数学家走过来跟我说了一些话,我还以为他说可以开车送我回市内,就邀请朝永老师一起坐他们的车走。结果,我们被带去他家。他还准备好晚餐,开始了第二场聚会。连“要不要来我家吃晚饭”这种简单的英语句子,我竟然都听不懂。

我几乎每晚都跟朝永老师一起去街上的餐厅吃饭。到普林斯顿已经三个月了,在日本时对美国的食物无比憧憬,而此时的我已经吃厌了,变得无比想念日本的食物。一到周末我经常跑去纽约,到不太正宗的日本料理店吃日餐。

1950 年的元旦是在纽约过的。新年第一天,我和朝永老师去汤川老师家拜年,他请我们吃了年糕汤,还给我们展示了诺贝尔奖的奖牌和证书。第二天晚上我又和朝永老师一起到一位日本人(不好意思,不记得名字了)家里吃了伊势龙虾等年节菜。在当时的日本根本吃不到这些豪华的日本料理,纽约真不愧是当时的先进之地。

但是,朝永老师因暴饮暴食吃坏了肚子,同时还感冒了,他整个人变得精神不振。之前朝永老师拔掉了所有牙齿,装了假牙,一下子年轻了许多。装上美国产的假牙后,没想到朝永老师的日语变差了,而英语却突飞猛进。假牙的价格竟然高达250美元(当时相当于9万日元),我在东京大学时每个月的工资不到9000日元,可见当时的9万日元可不是一笔小数目。自从元旦生病以来,朝永老师变得有些胆怯,思乡之情更深,一直跟我说想回日本。他总念叨着“好想把鞋脱了光脚”“好想一直用日语说话”“失去了神通力”,等等。“失去了神通力”的意思是想不出任何新的灵感。我说:“如果没能在回日本前让奥本海默刮目相看会很遗憾。”结果他反驳说:“不吃米饭怎么能想出好点子!”

朝永振一郎老师前一阵子还比较认可美国,曾说:“美国唯一的优点只有厕所,不臭。”不过随着夏日将至,朝永老师的抱怨也变得越来越多,“夏天没有庙会”,“窗户装着纱窗,搞得蚊子都飞不进来,听不到蚊子的嗡嗡声,完全感受不到夏天”,等等。最终他甚至还抱怨说:“不臭的厕所算哪门子的厕所!”

暑假

初见外尔教授时,他曾对我说:“等你英语好点儿的时候,你来开个讨论班吧。”他口中的这个讨论班从 2月2日正式开始了,时间在每周五的上午9点40分至11点,一直持续到 4 月。在起初的几次讨论班上,先是外尔教授讲授历史沿革,接着由德拉姆(Georges de Rham)开七八次讨论班,内容是基于现有概念的黎曼流形上的调和微分形式理论。调和微分形式也称作调和张量场。之后的几次讨论班由我来讲授它在复流形上的应用。在最后一次讨论班上,先由德拉姆讲一小时,再由我讲一个半小时。大家在会后一起去市内吃午餐,西格尔教授端起酒杯,提议为我们的讨论班而干杯。

在2月中旬的某个周五,讨论班后难得碰到爱因斯坦开课。不过这消息一旦对外公开,想必会引起轰动。因此,宣传栏上只贴出了“上午11点开始有课”的信息,既没有写明上课内容,

也没有提到授课教师的名字。讨论班上,我听到学生在小声议论说:“上午11点开始有爱因斯坦的课,不过要保密。”

课堂上,身穿低领短夹克的爱因斯坦出现在了大家面前,他自言自语地开始在黑板上写公式。刚开始我听不清他嘴里念叨着什么,仔细一听原来他是在用德语读算式中出现的字母“A”“B”“C”……爱因斯坦在课上讲的内容是,只要运用作为一般相对论测量张量的非对称张量,就能得到包括电磁场在内的统一场理论。在当时,基于微分几何的统一场理论已经过时,所以年轻的物理学者们基本不太关注。不过最近好像统一场理论的研究又盛行起来,学术界的“潮流”也经常让人摸不着头脑。

“发现”的心理

1955年9月,我就任普林斯顿大学的教授。虽说是教授,不过不是名副其实的教授,而是拥有教授职务的委托研究员。同时,我还兼任高等研究院的研究员,和研究院签了 5 年合同。秋季学期在大学授课,一周3小时。春季学期在研究院从事研究工作,但不用履行任何义务。在大学承担的课程主要面向高年级的研究生,所以上课内容由自己来定。我一般都是讲授自己目前正在研究的课题。

1951 年,我从东京大学物理系的助理教授升任数学系的教授,不过在同年4月我提交了辞呈,辞去了教授职务。这段时期,我开始研究椭圆曲面。运用复流形的一般理论来详细研究椭圆曲面的构造,这个过程让我感到愉悦。古典椭圆函数论运用起来也得心应手,所以研究工作也没遇到任何阻碍,进展十分顺利。我当时的感受可以比喻成夏目漱石在《梦十夜》中描写运庆雕刻仁王的场景,下面引用一段文中的描写。

运庆在仁王的粗眉上端一寸处横向凿刻,手中的凿刀忽而竖立,转而自上而下凿去。凿刀被敲入坚硬的木头中,厚厚的木屑应声飞落,再仔细一看,仁王怒意盈盈的鼻翼轮廓已清晰呈现。运庆的运刀方式无拘无束,雕琢过程中丝毫没有任何迟疑。

“他的手法真如行云流水,凿刀所到之处,居然都自然地雕琢出了内心所想的眉毛、鼻子样子。”我感慨至极,不禁自言自语道。

结果,方才那位年轻男子回应道:

“什么呀,那可不是凿刻出的眉毛、鼻子,而是眉毛、鼻子本来就埋藏在木头中,他只是用锤子、凿子将其呈现出来。就像从泥土中挖出石头一样,当然不会出现偏差。”

在我看来,我的椭圆曲面理论并非是我想出来的,它原本就埋藏在称为“数学”的木头里,我只不过借助纸和笔的力量将它挖掘出来而已。

我曾经在《推荐数学》(筑摩书房,1965 年)一书中提到过这种“发现”的感受。后来,我在昭和六十一年(1986年)正月的《日本经济报》上读到福井谦一也有过相同的感受,我意识到“发现”的心理不分学科领域。

自 1956 年的秋天起,我和斯宾塞开始合作研究复结构的变形理论。我们先研究了复流形的常见例子,归纳出关于模数的法则,接着将这个法则视为工作假说,通过研究更多具体实例展开变形理论。这个研究过程实在妙不可言。我每天与斯宾塞碰面,一起去市内的餐厅吃午餐,然后再返回学校讨论变形理论。研究具体实例相当于开展物理实验,变形理论的开端其实是实验科学。

斯宾塞(Donald Clayton Spencer,1912-2001)图片来源:https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Spencer/pictdisplay/

D. C. 斯宾塞是美国人,他于 1912 年出生在科罗拉多州的博尔德,常年在落基山脉登山练就了他健硕的体魄。斯宾塞身材高大,体重超过100公斤。他从麻省理工学院毕业后去了英国留学,在剑桥大学研究李特尔伍德的丢番图逼近并取得博士学位。在普林斯顿任职前,他曾在斯坦福大学研究函数论。调到普林斯顿任职后,他转向研究复流形,很快成了这个领域的专家。

据他说,他来普林斯顿以后才第一次接触到调和张量场,并认识到其中的重要性,于是仿佛回到学生时代般拼命学习。斯宾塞总是有先见之明,也是他让我开设关于“层”的讨论班。而且,斯宾塞满怀善意和热情,他的这种热情会“感染”周围的人,大家很自然地组成热情的研究团队。在20世纪50年代的普林斯顿,复流形理论极速发展,其发展的动力也源自斯宾塞的热情。

本文经授权摘自《我只会算术:小平邦彦自转》

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