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幸亏我们是生活在三维空间中?:空间维度、数学与物理现实的巧合

我们生活在一个三维物理空间里,这看似很偶然,可是用拓扑学、几何学、量子力学、几何代数什么的随便那么一想,发现可能是必然的哦。

撰文 | 曹则贤(中国科学院物理研究所)

道生一,一生二,二生三,三生万物。

――老子《道德经》

有些事儿,不能细想,细想起来能把自己吓一跳,比如我们的物理空间是三维的这件事儿。我们的物理空间是三维的,这个认识来自人类对运动自由度的感知。运动起来有三个自由度,曰上下、曰左右、曰前后,这一点地球人都知道,而且很早就知道了。德国文学家席勒(Friedrich Schiller, 1759-1805)谈空间的维度竟然会借俺们中国的孔老夫子之口,用Sprüche des Konfuzius (孔夫子的箴言)为题诌了几句诗:

Dreifach ist des Raumes Ma? (空间的尺度是三重的)

Rastlos fort ohn' Unterla? (不停地向远处延展)

Strebt die L?nge fort in's Weite (长度绵延不断)

Endlos gie?et sich die Breite (宽度无边)

Grundlos senkt die Tiefe sich (深度无底)......

这意思是说,我们的物理空间是三维的、无限的,可以用R3表示,R代表实数。文学家体认到的物理事实,都是坚实的物理事实。

那么,问题来了,为什么我们的物理空间是三维的呢?或者说,我们的物理空间是三维的有什么特别的益处或者讲究吗?

一个不假思索就能得到的答案是,空间的维度应该足够多,而从三开始才能算多。在中文里,三人为众,众人的人数就是不定的 (indefinite) 了,而在一些太平洋岛国的文字里,数字干脆就只有一、二、多。这说明三就给人以足够多的感觉了,不过这么解释不够科学。科学点儿的论证可以以拓扑学的面目出现。假设我们认定生命遵从热力学第二定律,需要摄入物质以维持其有序结构,用大白话说就是生命的具体过程至少要包含吃喝和拉撒这两种功能。从空间的角度来看,我们假设从吃喝所需的入口 (inlet) 到拉撒所需的出口(outlet) 的连接 (connection. 不懂这个词不足以谈广义相对论和微分几何) 是个一维的结构 (D=1,不能再少了),那么能够承载这个一维结构的结构就至少是三维的。在二维空间里,一个有限大小的生命个体如果要建立起一个从其表面上一点 (作为入口) 到另一点 (作为出口) 的连接,则这个连接会硬生生地把它剌成两半儿 (图1)。这说明原来说它是一个有

图1. 二维空间里的有限生命无法建立起从其表面上一点到另一点的连接。

物理的空间维度可以更高吗,比如D=4?或者,既然自然选择了D=3 ,那有什么令人心悦诚服的讲究呢?笔者顺着这个思路一想,发现还真有。容笔者声明,如下论证用的是科学且论证过程貌似科学,但论证过程未必严格。

首先,有等式 3-2=1,和 3=2(2+1)/2 。这是想说什么呢?这是想说弯曲流形在平直空间里的镶嵌问题。对于任意的一个n-维的黎曼流形 (简单地理解为光滑的物体就行),施莱夫利 (Ludwig Schl?fli, 1814-1895) 于1873年猜测其一块有限区域(原则上应假设其是弯曲的)的展开铺平一般要求一个 n(n+1)/2 维的镶嵌空间。我们假设这个关于镶嵌空间维度的最低要求是正确的 (有兴趣的读者请去研究纳什镶嵌定理)。至少对于二维流形,比如球面,确实能够在三维的平直空间里展开铺平。这意味着,在三维空间里生活的我们,能用平直的皮革去缝制球面。此外,注意,3-2=1, 二维弯曲流形放在三维平直镶嵌空间里,还有一个自由度的冗余,可以用于产生形变。这提供了驱动球类运动起来的可能性 (图2) 。这个物理空间是三维的事实保证了我们能制作球且能享受各种球类运动的欢乐。如果物理空间是四维的,二维的球面当然可以镶嵌入四维空间了,在其中还可以有两个自由度的驱动。这下麻烦了,四维空间里的二维球面运动会很复杂,估计绝大部分人就玩不来了――三维空间里还有人玩不来球 (面) 呢。没有球类运动的世界里人类如何生存,难道让大家整天研究几何不成?

图2. 三维空间里可以有一般拓扑意义上的球,还留出个自由度供其形变。

图3. 三维空间里点源发出的东西之浓度与距离的关系示意图

上述这些内容,构成我们物理学的主要内容,其成立的前提是物理空间是三维的。有趣的是,描述其中物理所用到的数学指向了三维空间的特殊性。假设,更高维的空间就不提了,我们是生活在四维空间中的,那能否还能发展出理解这个物理世界的数学呢?以笔者的理解,那是相当地不乐观。这样想来,还真幸亏我们是生活在三维空间的。

有善于抬杠的读者也许会说,四维物理空间的智慧生物所发展出的数学,也许是指向四维空间才是合理、碰巧得丧心病狂的呢?谁知道呢,也许吧!