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0.999...到底等不等于1?

撰文 | 杨浩

01 如何严谨地证明0.999...=1?

知乎上有一个数学问题引发了大家的讨论――“如何严谨地证明0.999…=1?关于此问题的回答也是五花八门,各抒己见。这个问题的有趣之处在于不同数学水平的人会有不同的理解。

为了后面能够把这个问题讨论清楚,我们先整理了几个知乎上的高人气“抖聪明”答案。

答案一:

根据人教版小学四年级下册教材:“如何比较小数的大小?先比较整数部分,整数部分越大,小数越大;整数部分相同的,再比较小数部分……”,显然 " 0.999…<1 ",二者并不相等。

答案二:

同样根据小学分数与小数的互化,

有1/3=0.333… ,

于是1/3×3=0.333…×3 ,

即1=0.999^ 。

答案三:利用初中代数与方程的思想,

设 x=0.999…,

则 10x=0.999…,

于是10x-x=9x ,9x=9,x=1。

答案四:利用高中等比数列求和与极限的思想描述 0.999… :

上述几种方法分别代表了小学、初中、高中数学知识水平,在一定的知识能力范围内,这些证明似乎都正确。

那么,到底哪个才是足够严谨的证明?

0.999… 与 1 是不是真的相等?这就要追溯到几百年来数学家们对无穷小量的探讨之中。

02 无穷小量的产生

无穷小量的产生来源于17世纪微积分的创立。微积分的诞生首先是为了解决一系列自然科学的问题(求瞬时变化率、求曲线的切线等等),牛顿(Isaac Newton, 1643-1727)和莱布尼兹( Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716)先后独立地建立了微积分理论体系。

1669年牛顿在《运用无穷多项方程的分析学》一书中初次提出了他的想法(这本书直到1711年才出版)。

莱布尼兹也推出了同样的结果。

牛顿和莱布尼兹都使用了无穷小的方法,尽管后来微积分迅速普及并且被广泛地使用,但也掩盖不了这种方法在逻辑上的不严密。

由于无穷小量(无论是牛顿的o ,还是莱布尼兹的dx )没有被明确的定义,很快,微积分就迎来了一系列质疑的声音――无穷小量和 0 到底有怎样的区别?推理过程中为什么能够直接舍弃无穷小量,而无穷小量的和却可以是有限的量?

针对这些疑问,牛顿和莱布尼兹意识到微积分存在的问题,也各自作出了回应。

1671年,牛顿阐述:变量是由点、线、面的连续运动产生的。1676年,他又说,流数(变量的变化率)是增量的最初比。

莱布尼兹在1690年写给沃利斯的信中说:“考虑这样一种无穷小量将是有用的,当寻找他们的比时,不把它们当做是零,但是只要它们和无法相比的大量一起出现,就把它们舍弃……”

可以看出,他们试图把自己的理论说清楚,但无穷小量的确切含义,仍然十分模糊。

03 无穷小量的争议与解决

18世纪初,微积分的不严密性招致了教会的攻击。由于害怕机械论和决定论对宗教的威胁,英国大主教贝克莱于1734年发表《分析学者》一文抨击牛顿是 “依靠双重的错误得到了虽然不科学却是正确的结果”。

数学家们当然不能容忍这种对数学的轻蔑,他们立即加入了争论,并且继续尝试给微积分提供严密的基础,虽然大部分都失败了,但我们不能否认的是,在得到正确的结果之前,有一些数学家的贡献是不可忽视的。

沃利斯在《无穷的算术》中,提出了函数极限的概念,产生了新思想的萌芽。

欧拉则是把微积分从几何中解放出来,而使它建立在算术和代数的基础上,为基于实数系统的微积分的根本论证开辟了道路。

进而,导数、积分、收敛性、无穷级数等概念一一被严格确定下来,关于无穷小量的长达两个多世纪的争论(也称第二次数学危机)终于结束。

但这并不是基础研究的终点,所有相关的研究工作都是以承认实数系为先决条件的,而实数系的逻辑基础到19世纪后半叶才逐渐建立起来。实数系的建立者是康托尔(同时建立了集合论),在有理数系的基础上,他引入了一个新的数类――实数。

如今,实数理论进一步发展为实变函数论,已经成为微积分的一个重要分支,实变函数也是数学专业大学生的主要课程之一。

04 无穷小量、极限和高中数学的关系

现在我们可以发现 0.999…<1 的问题,本质上是数学基础的问题,它反映了实数的稠密性和完备性。

换句话说,如果这两个数不相等,那么实数理论,以及建立在实数系基础之上的微积分的大厦将会崩塌。在高中阶段,我们也会学习简单的微积分知识,比如导数和定积分的运算,在数学中,我们可以运用导数解决函数的最值问题;在物理中,可以根据位移函数求瞬时速度和加速度,也可以解决简单的天体物理运动问题。

因此,高中数学课本中对导数的解释其实是有些模糊不清的,事实上,到大学数学分析中,我们才能学到函数的连续性、导数、积分最明确、严谨的定义。数学是最讲逻辑的学科,数学家们花了近3个世纪,才把微积分的理论从建立到完善,甚至直到今天,还有一些悬而未决的问题。相信大家看完文章后,也会对微积分、对数学有全新的认识,直观感受有时也会导致错误的结果。我们以后在思考问题的过程中,也要争取像数学家们一样,力求严谨,不能似是而非。

本文经授权转载自微信公众号“新东方智慧学堂”。原标题为《0.999...到底等不等于1?400多个知乎回答,都不算对》。