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新物理的魅影?浅谈缪子g-2实验

?2021 年 4 月 7 日上午,美国费米国家加速器实验室(Fermi National Accalorator Laboratory, FNAL)选择召开网络视频发布会,公布了缪子 g-2 实验组对于缪子反常磁矩的首个测量结果。一石激起千层浪,现有结果与粒子物理标准模型预言之间 4.2 倍标准差的偏离,不仅吸引了全球粒子物理学家的关注,也引来了媒体的目光。一时间,超出标准模型的新物理再次成为了大家讨论的话题。缪子是什么?“g-2” 是什么意思?这个实验结果到底告诉我们什么?我们希望这篇小文能对大家囫囵地了解这些问题有所帮助。

撰文 | 张昊

编辑 | 花明、静得

注:准备好一杯清茶,奶茶 or咖啡,此文虽长,但够科普,一文带你了解 g-2 实验的前世(磁矩、自旋,量子效应与 QED 及主人公缪子的恩怨纠缠)、今生(缪子的反常磁矩的测量,及实验上 “ 5 个 σ ”的意义)、来世(误会一场还是真有新物理)!

书归正传,让我们从头说起。这个实验测量了缪子的反常磁矩,那么磁矩是什么呢?

磁矩――旋转的带电陀螺

人类对磁现象的认识,已经有数千年的历史。这大概要感谢自然界中的天然磁化物,比如大家常见的磁铁,俗称吸铁石。在我国,从两千多年前春秋时期就对磁石(当时记为“慈石”)有所记载,包括《管子》、《山海经》、《鬼谷子》在内的古文献都提到了这种特殊的“石头”。《吕氏春秋》更是明确提出:“慈石召铁,或引之也。”同一时期的西方,正处于希腊古典文明的沐浴中。据记载,大约在公元前 600 年左右,来自米利都(Miletus)的古希腊哲学家泰勒斯(Thales,没错,就是那个用大金字塔影子的长度测算了塔高的泰勒斯)记录了一种被他称为 “Lodestone” 的矿石。在希腊时代,这种矿石主要分布在麦格尼西亚(Magnesia)。这个地名,日后成为了西方语言中“磁铁”(magnet)一词的词源。

图1. 巴尔干半岛上磁铁洋文名称的词源地。

在现代自然科学诞生之前,人类虽然也在不断地积累对自然的认识,但是鲜有定量系统的处理方法。这种情况被杰出的英国物理学家伊萨克 ・ 牛顿所终结。伟大的牛爵爷,几乎凭借一己之力,改变了人们描述自然规律的手段。从他开始,人们用公式和数学总结和预言自然规律。对于磁现象的描述,也有了长足的进步。早期,安培(André-Marie Ampère)发现的以他的名字命名的定律,出人意料地将磁现象与电流联系起来,凭此在中学物理课本中占有一席之地。中学课本告诉我们,安培发现通电螺线管会产生一个与磁铁类似的磁场。

图2. 铁屑展示出的一坨通电螺线管产生的磁场。

如果有一个带电的陀螺(注意,是带电的陀螺,不是电动陀螺),当它转起来的时候,由于它身上的电荷跟随它的自转在运动,那实际上就是一群环形电流。所以,一个匀角速度自转的陀螺,或者一个匀角速度自转的物体,会像一节磁铁一样,而这节“磁铁”的南北极,就沿着自转轴的方向。但是我们知道磁铁在外磁场中是受力的,它受力的大小取决于自身的磁性,也就是自己能产生磁场的大小。这样,人们就可以用一个像电荷一样的数记录转动的带电陀螺或者小球受到的磁力大小与外磁场(不是它自己产生的那个)大小的比值。这个数,反映的是陀螺或者小球自己的性质,叫做它的“磁矩”(magnetic moment),一般用拉丁字母 m 或者希腊字母μ表示。当然,转得越快,陀螺身上的那些电荷就跑的越快,等效的“环形电流”就越强,磁性也就越强。另一方面呢,陀螺原本带的电荷越多,同等转速下“环形电流”也就越大。所以很容易理解,带电自传体的磁矩与转速和电量成正比。在这里,物理学家们一般将物体的自转转速用它的自转角动量与质量的比值反映,因此

磁矩正比于电量×自转角动量÷质量

左右两边相差一个具体的比例系数,和这个“陀螺”的各种细节有关。费米国家实验室这次测量的,就是缪子的这个比例系数。

自旋的故事

1925年8月,来自荷兰莱顿的青年物理学家乌伦贝克(George Eugène Uhlenbeck )和古施密特(Samuel Abraham Goudsmit),对解决长久以来氢原子光谱精细结构中的一个疑难提出了建议,他们在一个简单的公式中通过猜测手动加了一个 1/2。两位小伙子大概没有想到,这个人为参数 1/2 的背后,反映了量子物理和时空结构相结合的深刻结果。

图3. 左边的是莱顿大学硕士、荷兰驻罗马大使小儿子的私人教师,著名物理学家埃伦费斯特的学生 George Eugène Uhlenbeck (1900/12/06-1988/10/31);右边略萌的是被朋友们称为山姆的 Samuel Abraham Goudsmit(1902/07/11-1978/12/04)。

光谱这个词儿,听起来很高大上。实际上人类在生产生活中利用光谱的历史十分悠久。成书于春秋战国时期的《周礼 ・ 考工记》中曾有记载:“黑浊之气竭,黄白次之;黄白之气竭,青白次之;青白之气竭,青气次之,然后可铸也。”这段话说的,正是古代青铜冶炼技术中,根据火焰的颜色判断炉温高低的方法。自从牛爵爷用三棱镜将不同颜色的光分开,物理学家开始可以按照不同频率的光所占的比例研究发光体的性质。慢慢的,人们发现,单一元素的发光是有选择性的,它们只会发出或者吸收特定频率的光。在十九世纪后半叶和二十世纪初,光谱学是物理学家研究物质微观结构的重要手段。复杂而有选择性的光谱特征,暗示着发光体具有更精细的微观结构。

图4. 氢原子光谱。

波尔的氢原子模型,通过引入量子化轨道的概念,成功地解释了氢原子光谱。但是随着物理学家对氢原子光谱的观测越来越精确,实验中看到的一些光谱结构已经无法用波尔的模型解释。从 1913 到 1925 年的 12 年间,物理学家们尝试将波尔的旧量子论与爱因斯坦的狭义相对论结合起来解释这些“精细结构”。乌伦贝克和古施密特的工作,就是其中之一。在他们的八月文章发表两个月后,1925 年 10 月 17 日,二人再度合作,赋予了八月文章中手放的常数 1/2 一个直观的物理意义:“绕核运动的电子,在不停的自转,这个 1/2反映了电子自转的角动量。”

电子的“自转”,被称为自旋(spin),由自旋导致的角动量,称为电子的自旋角动量(用来与电子绕着原子核公转的角动量――称为轨道角动量――相区分)。人们很快发现,把电子看做一个不停自转的小球这种经典力学的图像尽管直观,但必定是错误的。它会带来电子表面线速度远超光速等等荒谬的结果,而且也没人能让它停下来不转或者转得更快。电子的自旋,是狭义相对论时空对称性与对世界的量子描述相结合的必然产物,不是宏观物体的一种机械运动。正确理解电子自旋的起源,必须用到相对论性量子场论。但是在我们的这篇小文中,姑且把它直观地想成一个自转的小球,仍然可以帮助我们理解一些问题。只要你记得这样做严格讲是有问题的就好。

其中 m 是电子质量,e 是单位电荷电量(也就是电子的电量),比例系数被称为电子的朗德(Landé)g 因子。这个 2,与天才物理学家狄拉克写下的相对论性电子运动满足的量子力学方程――狄拉克方程给出预言完全一致。没错,实验组测量的所谓 “g-2”,正是朗德 g 因子与 2 的差异。

朗德 g 因子不是被狄拉克方程认定为 2 吗,为什么又有差异了?

图5. 电子自旋与磁矩。

量子效应与QED的胜利

二十世纪的前三十年,是理论物理学的革命时期,可谓“遍地是黄金”。1925 到1926 年间量子力学的建立,无疑是其中最重要的成果之一。从此之后,物理学家在面对量子效应的时候,终于摆脱了自波尔的旧量子论以来半经典、半人为的处理方法,有了一个理论框架。然而薛定谔的量子力学波动方程,并没有考虑二十世纪初物理学的另一大发现,相对论。这不是因为他不想(他肯定不傻),而是因为简单的结合给出与实验相矛盾的结果,于是只好退而求其次。

但是人们面临的问题是,要解决经典原子模型中核外电子圆周运动产生电磁辐射导致能量损失最终使得原子不稳定这一疑难,必须量子化地考虑电磁场。而电磁场满足的经典运动方程就是相对论性的,不存在非相对论量子电动力学。因此,早在量子力学建立的同一年,物理学家们就开始构建一个更宏大的理论框架――相对论性量子场论。

在量子力学中,今天最广为人知的量子效应可能就是不确定性关系(也叫测不准原理),最简化的版本就是说,人们永远无法同时确切地确定和言说一个遵循量子力学运动规律的粒子的动量和位置。在量子场论中,量子效应深入到时空的每一点。不仅对于一个粒子,存在不确定性关系,由于空间中存在包括电磁场在内的各种场,这些场在时空中每一点的状态和动量,也要服从不确定性关系。所以在时空中的每一点,各种量子场都在不确定性关系的指导下,发生所谓的“量子涨落”。场可以赊账,借来能量E产生它的激发――粒子,只要在满足不确定性关系给出最短时间t以内再把这些能量还回去,就不会有任何实际上破坏能量守恒定律的事情被观测到。这样的过程,被称为“虚过程”,我们可以脑补真空中的各种场,实际上无时无刻不在发生这些虚过程。

图6. 量子场就像狡猾的鼹鼠,在空间中的每一点每时每刻都可能冒出来,然后在人们没有看到它之前藏回去。我们看到的,只是一直在洞外跑的那些鼹鼠。

正所谓看似风平浪静,实则波诡云谲。

同样的,当一个电子岁月静好地坐在那里的时候,它真的是一个电子吗?如果沿用这种直观但不严格的图像,这个电子无时无刻不在变为其他的粒子,只要在不确定性关系允许的范围内变回电子就可以了。比如,现在我们知道,一个电子可以默默地“变成”一个 W 玻色子和一个电子中微子(都是“虚”的),只要后者很快复合成原先的电子,那么在不确定性原理的保护下,这种过程对于能动量守恒的违反就是无法被观测到的,因而是允许且时刻“发生”的。

然而这些虚过程并非毫无观测效应,它们只是不破坏能量守恒定律这类基本原理,却完全可以微弱地改变物理常数的数值。狄拉克方程只是说电子的朗德 g 因子是2,但是中间这些虚粒子的运动状态和朗德因子都可能与原先的电子不同。因此这些虚过程最终将使得电子的 g 因子微弱地偏离 2。在量子场论的框架下计算这个微小的偏离,不是一件容易的事情。1947 年 12 月,著名物理学家朱利安 ・ 施温格(Julian Seymour Schwinger)第一次给出了对这个偏离的计算结果

其中的常数 α 是电磁相互作用的强度,称为精细结构常数(库仑定律里面那个常数的另一种形式)。这个偏离,由于与之前的预言 2 不符,被称为电子“反常”磁矩。

图7. Julian Seymour Schwinger(1918/02/12-1994/07/16),据传费曼曾经承认自己嫉妒他的聪明。他的墓碑上镌刻着电子反常磁矩的第一个计算结果。

施温格的计算,考虑的是量子涨落发生一次的效应。实际上,量子涨落中还可以有量子涨落,中间的虚粒子自己还能够瞬间幻化成其他虚粒子。这种层层相套的效应,计算起来相当复杂,在各种理论工具和高性能计算机的帮助下,今天人们给出的电子反常磁矩的计算结果,已经包含了产生5重虚粒子的微弱量子涨落。其精度之高,使得电子反常磁矩的测量反过来成为了对精细结构常数最精确的确定方法。目前人类在实验室中测到的电子反常磁矩的数值为

精度达到了惊人的百万分之0.00022。由此利用复杂的计算公式,给出的

括号中的三个数是最后两位来自不同原因的误差,精度已经达到了百万分之0.37。电子反常磁矩的计算,被视为量子场论版的电磁理论――量子电动力学(Quantum Electrodynamics, QED)最成功的结果之一。

然而这次问题出在了缪子身上。缪子是谁?

缪子是谁?

二十世纪三十年代中期,因为在宇宙线中发现了正电子而获得诺贝尔物理奖的安德森和他的合作者尼德迈耶,着手分析当时宇宙线中的“硬”成分。这种成分不像是当时人们已知的电子,实验结果也不支持它是质子的猜测。最终,在 1936 年 11 月的一篇文章中他们提出,这是一种质量在电子和质子之间,带一个单位电荷的新的粒子。很快,更多的测量预示着这种粒子的质量大约是电子质量的 200 倍。

当时的市场上,确实有人预言过一种具有类似质量的尚未被发现的粒子。这种粒子原本是为了解释质子和中子之间的吸引力而提出的。众所周知,带电物体同号相斥,然而原子核中的诸多质子都带正电,却没有炸开。这说明质子之间存在一种新的相互作用力,把它们强烈地吸引在一起。日本物理学家汤川秀树就构造了这样一个核子之间吸引力的理论模型。与电磁相互作用会给出电磁波类似,这种相互作用预言了了一个充当力的传递者的新粒子。经过计算,汤川说,它的质量大概是电子质量的 200 倍左右,并将它称为“介子”。

质量一致,人们自然地把宇宙线中发现的新粒子看作是介子的候选者。然而事后的种种迹象表明,这种新粒子与汤川预言的介子性质大为不同。十几年后人们才确定,真正的介子另有其人(今天称为 π 介子,pion),而安德森他们发现的是一种全新的粒子――缪子( μ子。一直到很久之后,“ μ介子”这种称呼仍然可以见到,这也算是个历史遗留问题了)。

图8. 电子的胖哥哥――缪子。注意,它和电子一样,也是个小磁铁。

缪子的发现解决了什么问题吗?坦率地讲,除了解释了宇宙线硬成分,在当时似乎没有其他用处。它除了比电子重很多以外,其他性质与电子几乎完全一致。由于太重,缪子无法长期存在,它会变成一个电子和一对正反中微子,这个过程称为“衰变”。一个缪子产生后,在衰变前大约仅能存在 0.000002 秒,短命得很。今天我们知道,在粒子物理标准模型中,缪子与电子同属一类,它们参与相互作用的性质和所带的各种荷(除了质量)完全一

缪子反常磁矩的测量

在费米实验室的测量结果之前,物理学家已经不止一次测量过缪子的反常磁矩。其中最为著名的实验,就是美国布鲁克海文国家实验室(Brookhaven National Laboratory, BNL)的 E821 实验。这次费米国家实验室测量缪子反常磁矩的方法,在原理上,与 E821 实验基本相同。

图9. 美国布鲁克海文国家实验室始建于 1947 年,位于纽约州长岛东端。图中所示为其标志性科学装置:相对论重离子对撞机(Relativistic Heavy Ion Collider, RHIC)。

如何测量缪子磁矩呢?

缪子的寿命只有短短的 2 微秒,显然不可能把它老老实实放在磁场里观察。物理学家们利用了一种带磁矩的粒子在匀强磁场中运动的特有现象――托马斯进动(Thomas precession)。

通过对经典陀螺的进行受力矩分析,人们发现一个高速转动的陀螺,当它的转动轴与地面不完全垂直时,它的转动轴也会转动。这背后的原因,是因为陀螺始终受到一个垂直它角动量方向的力矩。中学物理课上大家都学过匀速圆周运动,知道如果一个质点始终受到垂直它动量方向的力,它就会做匀速圆周运动。类似的,如果一个陀螺始终受到一个垂直它“角”动量方向的力“矩”,它的转轴――也就是角动量方向,也会做一个“匀速圆周运动”。转动物体转动轴的这种变化模式,就叫做“进动”。

在我们的身边最宏伟的进动过程,恐怕就是地球自转轴的进动。地球的自转轴与地球绕太阳公转的平面并不垂直,而是有一个大约 23.5 度的夹角。这个夹角决定了南北回归线的纬度。地球的自转轴也在发生公转,也就是说,地球的北极并不固定地指着星空中的一个方向,而是在画圈。画一圈的周期有多长呢?25772 年。所以这个进动是非常缓慢的。这里有一个有趣的现象,由于地球自转轴的进动与地球公转的周期不一样,所以地球绕太阳转一圈回来的时候,自转轴偷偷地移动了一点方向。经过半个进动周期,也就是 11500 年左右,自转轴会向另一个方向倾斜 23.5 度。到时候,太阳直射北回归线的那天将是冬至,而不是夏至(因为一年 365.25 天和月份是按公转定的)。另一个著名后果是,由于正北方是自转轴确定的,北极星在夜空中不会永远是正北。比如,两千年后位于夜空正北方的,将是紫微左垣七(仙王座的 Gamma Cephei)。

图10. 地球自转轴的进动。

地球的自转轴进动周期和地球的公转周期不相同,导致地球公转一周后自转轴不在原来的位置。一般而言,对于机械转动,把两个周期调节到严格相等一点不差,即便不是不可能也是挺难的。那么有没有可能自转轴的进动周期和公转周期完全一致呢?

还真有!

图11. 自旋粒子的自旋轴在外磁场中的进动。

中学物理上老师讲过,作为一个带电粒子,缪子在一个匀强磁场中会做匀速圆周运动(公转)。但是缪子的自旋方向(自转轴)如果与磁场不平行的话,它会受到磁力产生的一个力矩,从而导致自旋轴在磁场中发生进动。这个进动,被称为托马斯进动。神奇的是,这个进动的周期与缪子在磁场中的公转周期有一个确定的关系。原理上,这是因为导致缪子公转和自旋进动的力都是源自同一个外磁场的磁力,前者与缪子的电量成正比,后者与缪子的磁矩成正比。而缪子的磁矩又与它的电量成正比(比例系数反映了缪子的朗德 g 因

费米国家实验室缪子 g-2 合作组的实验家们把自旋轴垂直于外磁场(也就是自旋轴“躺在”圆周运动的平面上)且平行于运动方向的缪子(这种自旋轴高度同向的缪子称为“极化”缪子)打到一个叫做“磁储存环”的环形轨道里,他们在这个轨道里制造了一个高度均匀的稳定磁场,使得缪子沿着磁储存环做匀速圆周运动。利用物理学家早已熟知的公式,可以计算出缪子公转的角速度(圆周运动单位时间内转过的角度)

严格正比于缪子的反常磁矩。所以,只要能够精确控制磁场、精密测量出基本电荷和缪子的质量,通过精确测量缪子回旋一周后磁矩的指向(因为角度差等于角速度差乘以时间)就可以给出它的反常磁矩了。

图12. 缪子反常磁矩的测量原理。

由于做匀速圆周运动的缪子,每时每刻的运动方向都沿着圆周的切线方向,所以剩下的问题,就是如何测量缪子自旋轴的指向了。聪明的物理学家利用了缪子衰变的一个特性,而这个特性,与 1954 年李政道先生和杨振宁先生猜想、并被吴健雄先生通过实验证实的弱相互作用宇称破坏有关。我们在此只需要知道,由于宇称破坏,缪子衰变(炸裂)产生的那个电子,在大部分情况下,更喜欢沿着衰变前那个缪子的自旋方向飞出来。所以,衰变电子的运动方向,可以作为缪子自旋方向的指标。实际上,人们并不需要测量电子的运动方向。因为缪子本身是高速运动的,当电子飞出来时,它就好像从一节高速飞驰中爆炸的车厢上跳下车的人,如果它顺着火车行驶的方向跳,落地的动能就大,如果它逆着火车行驶的方向跳,落地的动能就小。因此,只要在实验室中测量电子的能量,就能知道缪子(相当于车厢)的运动方向与电子(相当于跳车的人)的运动方向是否一致了。电子的普遍能量越高,它们的运动方向与衰变前缪子的运动方向夹角就越小,缪子的自旋方向与运动方向夹角也就越小;反之,电子的普遍能量越低,它们的运动方向与衰变前缪子的运动方向夹角就越大,缪子的自旋方向与运动方向夹角也就越大。由于反常磁矩导致每转一圈这个夹角都会变大一点,直到夹角涨到 360 度再重新开始。所以,观测到的电子能量的大

图13. 在实验室中,缪子衰变产生的电子就好像一个从飞驰的火车上跳下来的人。

于是,实验家们只需要在磁储存环上开几个观察窗,测量一下从窗口飞出的缪子衰变产生的电子的能量随时间的周期变化情况,就可以确定 了。测量的次数越多,获得的结果也就越精确。至于其他的问题,比如如何用一辆小车上的核磁共振探针测量储存环中的磁场、怎样给这些探针校准等等,属于具体的实验细节,我们在此就不再赘述了。

2006年,布鲁克海文国家实验室 E821 实验的缪子反常磁矩测量结果显示

精度为百万分之 0.46。这一结果与当时的标准模型理论计算相差 2.7 倍标准差。随着时间的推移,在费米实验室发布他们新结果的时候,E821 的老结果与理论预言的偏差已经达到了 3.7 倍标准差。

费米实验室不仅利用了与布鲁克海文国家实验室完全相同的实验原理,连磁铁也是直接把布鲁克海文国家实验室 E821 组的那块老磁铁直接千里迢迢运来的。为此,他们先是海运,接着走内河,最后一段用卡车才把这块巨大的磁铁从纽约州长岛运到位于芝加哥西郊的费米国家实验室。磁储存环的直径有 14.2 米,其中的匀强磁场的磁感应强度达到了 1.45 特斯拉(特斯拉是一个比较大的单位,一般的磁铁是没有这么强的,医院核磁共振仪的磁场磁感应强度可以达到几个到十个特斯拉左右,所以做核磁共振检查之前大夫会反复叮嘱你把身上的所有金属物件都摘下来,否则一开机――

)。这时的频率差大概使得每跑 27 圈,缪子的自旋轴会再度与运动方向重合。

图14. 卡车装载着巨型磁铁在高速公路上行驶。

图15. 卡车装载着巨型磁铁,抵达位于美国芝加哥市西郊的费米国家实验室。图中的建筑,是费米国家实验室的标志性建筑威尔逊楼(Wilson Hall)。

图16. 2013 年,工程师们在费米国家实验室吊装巨型磁铁。

图17. 费米实验室缪子反常磁矩测量实验。蓝色的环就是磁储存环。

经过对一期运行数据的仔细分析,2021年4月7日当地时间上午 10 点,费米实验室缪子反常磁矩合作组召开线上新闻发布会,公布了他们对缪子反常磁矩测量的最新结果。新的结果与 E821 实验组的结果基本一致,但其中心值略微接近了标准模型的预言,且具有更小的实验误差。当物理学家们综合了布鲁克海文国家实验室的结果后,最终得到

精度提高到了百万分之 0.35,而标准模型理论的预言为

精度为百万分之 0.43。新的结果表明,实验结果比标准模型理论的预言大了 4.2 倍标准差。

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