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如何理解最大最小的数,能否写出来,现实中有哪些最大或最小?

本文基于回答网友类似问题。

可以肯定的是,这个世界上没有最大最小的数字。

因为数字是无止境的,它可以存在于任何虚幻想象中。不管是有理数还是无理数还是小数,都没有一个极限,如果有人立志要写出一个最大数,就需要子子孙孙没有穷尽地写下去,写满黑板、写满国土、写满地球、写满太阳系银河系、写满可观测宇宙,还是写不完,天荒地老,永无止境。

反证法可以简单证明这个世界没有所谓最大和最小的数:如果p为最大数,必然还存在p+1>p;同理,p'为最小数,必然还存在p'-1<p'。因此在表示无穷大的数和无穷小的数时,一般可用符号+∞或-∞。

无理数的循环小数也可以无限循环,如π;小数点以后的0也可以永远写下去,以致无穷。无论写了多少0,最后只要有一个1保底,就有意义了。但问题是这个1没有最后,任何时候写上1,后面还可以添无数的0和1,因此也永远也没有最小的小数。

有人弄了个葛立恒数,被认为是“有意义”的最大数。

这个理论是美国数学家葛立恒弄出来的,其源自于图论,是一个极其巨大的自然数。为了表示这个数,需要用到高德纳箭号表示法(引用):

以a和b都取3为例:

3↑3=3×3×3=27

在一个箭号的情况下,3↑3=3^3,这样看起来与指数相比并没有什么特别的。但如果再加一个箭号,这个数的大小将会剧增:

3↑↑3=3↑3↑3=3↑27=7625597484987

在两个箭号的情况下,3↑↑3=3^27,结果已经到万亿级别。如果再多一个箭号,这个数将会大到无法用普通的简便方法来表示:

3↑↑↑3=3↑↑3↑↑3=3↑↑7625597484987=3^3^3^3……^3(共有3^27个3)

但葛立恒数还要远远大于3↑↑↑3。定义如下的式子:

g(n)=3↑^g(n-1)3

在这个式子中,g(1)=3↑↑↑↑3。每一层数都用于表示上一层的箭号数量,随着n的增加,g(n)的数值会以极快速度增大。当n=64时,g(64)为葛立恒数。

这个数值有多大呢?就是你怎么想象都无法描述,有人说将全宇宙的所有粒子都变成墨水,每张A4纸都写满数字,不管写多小,这些纸装满整个可观测宇宙也写不完;更有人说了,即便每个字只有科学家们认为有意义的最小尺度普朗克大小,整个可观测宇宙也装不下这些数字。

还有人说了,不要说装下每一个数字,就是把这个数值的位数写出来,宇宙也装不下。

什么叫位数?10000是5位数,就写个5;100位数就写个100,即便这样写也写不完。但葛立恒数不是无限的,而是在正式数学证明中有头有尾的,是吉尼斯世界纪录中“有意义”的最大自然数。

人们无法得到这个数有多少位数,因为它大得任何科学记数法也不够用。但通过证明,可以得到最后的数字是什么,现在已知最后的一个数字是“7”,最后12位数是“262464195387”,而最后500位数是(引用):

02425 95069 50647 38395 65747 91365 19351 79833 45353 62521

43003 54012 60267 71622 67216 04198 10652 26316 93551 88780

38814 48314 06525 26168 78509 55526 46051 07117 20009 97092

91249 54437 88874 96062 88291 17250 63001 30362 29349 16080

25459 46149 45788 71427 83235 08292 42102 09182 58967 53560

43086 99380 16892 49889 26809 95101 69055 91995 11950 27887

17830 83701 83402 36474 54888 22221 61573 22801 01329 74509

27344 59450 43433 00901 09692 80253 52751 83328 98844 61508

94042 48265 01819 38515 62535 79639 96189 93967 90549 66380

03222 34872 39670 18485 18643 90591 04575 62726 24641 95387

人们还可以从前往后,从后往前推出许多位,但无法算尽,因为中间这个肚子到底有多大,谁也说不清。据称,就是用现在最快的计算机每秒计算10亿亿次,从宇宙大爆炸开始,算到今天,一秒不停地计算138亿年,也无法穷尽这个数值。

葛立恒数可以用数学语言简单描述为(引用):

连接n维超立方体的每对几何顶点,获得一个有着2^n个顶点的完全图(每对顶点之间都恰连有一条边的简单图)。将该图每条边的颜色填上红色或蓝色。那么,使所有填法在四个共面顶点上包含至少一个单色完全子图的最小n值为多少?这个数值无比巨大,无法用科学记数法表示,就连a^(b^(c^(…)))这样的指数塔形式也无济于事,甚至连数学家都难以理解它。

除了葛立恒数,数学家们还弄出了个TREE(3)。

TREE(3)是个比葛立恒数大很多的数字,但是不是“有意义”,似乎还没有定论。说实话,俺也只知道有这么个事,但这个TREE(3)到底是咋回事,俺也是云里雾里,只能鹦鹉学舌的胡诌几句,抛砖引玉仅供参考。

TREE在英文里就是“树”的单词,TREE(3)的含义是函数名称叫TREE,而函数自变量取值是3。TREE(3)的定义比葛立恒数更简单,说起来它就是一个画“树”的游戏,这个“树”就是树林的树。有点像公司构架图或者家谱图,这种树枝结构虽然简单,但要说清这个数值有多大,实在很难,只能这么说:前面说的葛立恒数在TREE(3)面前,什么都不是,可以忽略不计,从零开始。

当然,这些理论不是像网络上一些人胡思乱想信口开河的,而是有一套一套数理逻辑来论证的,是得到数学家和内行们公认的一个理论,我们这些非数学专家虽然不一定能弄懂,但要尊重科学创造,不知为不知是知也,自己不清楚就要虚心学习,不要轻易去否定用科学方法得到的结果。

以上是理论上存在的最大最小数,只能用数学语言来证明和定义,实际上无法具体描述有多大。那么在现实中存在的最大最小数是什么呢?这要看怎么理解了。

现在来说说宇宙中的几个最大和最小。

如果说具体的事物,只能说是宇宙最大了,因为人类永远也无法走出这个宇宙,至于宇宙之外还有什么,现在科学无法解释,也无法说清楚。如果按照爱因斯坦场论来解释,宇宙存在于时空曲率中,无论我们观测还是理解,都无法突破这个时空曲率。宇宙包罗万象,因此没有宇宙之外,如果有“外面”,“外面的外面”,也还是宇宙。

那么这个宇宙有多大呢?现在也无法知道,通过数学建模和宇宙膨胀理论,我们只知道可观测宇宙半径大约为465亿光年。1光年是光在真空中走1年的尺度,真空光速为299792458m(米)/s,每个儒略年为365.25天共31557600s(秒),1光年就是约9.46万亿km(千米)。那么可观测宇宙的半径用km表述就是约4.4*10^23km,即4400万亿亿km。

这就是我们现阶段认为可以理解的宇宙的尺度。在这个宇宙里,发生了几个最大最极端的事件:宇宙创始于138亿年前的一个奇点,这个奇点大爆炸后经历了138亿多年的膨胀,成为我们看到的宇宙。大爆炸刚开始那一瞬间不知道温度有多高,因为奇点的表述为体积无限小,温度无限高,曲率无限大,密度无限大。

理论上只知道在普朗克时间后发生的事。普朗克时间就是大爆炸后约10^-43s(秒)这个时候,空间直径只有普朗克尺度,即约1.6*10^-35m,宇宙温度约为10^32K,密度为10^94g/cm^3,超过质子密度的10^78倍。上述数学语言通俗的说,就是宇宙大爆炸开始1000亿亿亿亿亿分之一秒时,宇宙直径只有1600亿亿亿分之一米,宇宙的温度大概为1亿亿亿亿K,宇宙密度为1亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿吨/cm^3。

普朗克时间和空间都是理论上人类能够理解的最小单位,而普朗克密度和普朗克温度是理论上能够理解的最高密度和温度。这些普朗克时间出现的普朗克现象,都属于物理学或量子力学范畴,已经是过去时,在我们现在的世界都不可能重现。

经过长期观测发现和研究,人们知道了宇宙中物质运动最快速度就是真空光速,宇宙中最低温度为绝对零度,也就是0 K,即-273.15℃。任何有静止质量的物体都不可能达到光速,一个质子也不行;绝对零度是热力学的最低温度,只能无限逼近而不能达到,因为温度高低取决于分子原子运动,绝对零度表示这个空间没有了分子原子运动,空间为零,宇宙消亡。

人类现在能做到的几个最大和最小。

现在人类测量到的最高温度为10万亿K,最低温度为100亿分之一K。这两种温度都是人类创造的,最高温度在大型强子对撞机里实现,最低温度在国际空间站冷原子实验室实现。当然这两种温度都是在亚原子层面的微观状态下获得,要依靠极其精密的监测设备才能够观测到。

而宇宙中现在可观测的最高温度为伽马射线暴,温度可达数千亿度到万亿度,尚未达到人造温度;最低温度为布莫让星云,那里的温度约为1 K,是人类创造最低温度的100亿倍。

这样看起来人类已经很牛了,但实际上还有很多方面比自然之最相差甚远。比如人造速度相比光速就太蜗牛了,迄今最快人造飞行器是NASA于2018年发射的帕克太阳探测器,现在速度已经达到每秒100km以上,2024年12月最接近太阳时,速度可以达到200km/s,但这只是光速的1/1500;人类飞得最远的飞行器是NASA于1977年9月发射的旅行者1号探测器,飞了44年,距离地球才227亿km,要飞出半径约1光年的太阳引力范围,还需要飞17000多年。

人类虽然飞得不快,但拍摄速度已经很快了,美国加州理工学院和加拿大魁北克大学的科学家合作,研发出了世界上拍摄速度最快的相机,每秒钟能够拍摄10万亿帧画面,可以让光速流动过程成为慢镜头(上图),被人眼看得清清楚楚。

宇宙中还有许多“之最”,人类也还创造过许多“之最”,这里就不一一介绍了,有兴趣的朋友可以查看我以往发过的文章或到网络上搜寻。码字不易,如喜欢就请给个点赞和关注吧,谢谢阅读,欢迎讨论。

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