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宇宙中真的存在平行线吗?

上回我们说到,爱因斯坦通过非凡的思想实验,将引力的作用效果和时空结构等价了起来,他认为我们感受到的引力,只是时空发生了弯曲。弯曲的时空决定了物质的运动轨迹,所以我们就产生了有引力作用的错觉。

那么爱因斯坦接下来需要做的就是建立一个弯曲时空的引力理论。弯曲的时空?这有点违背人们的直觉,我们能感受到的空间好像是平坦的,没有弯曲,至少我们看不见空间是弯曲的。

这就是爱因斯坦的过人之处,能够撇开直觉的影响,仅凭思维就窥见出事物背后的本质,在他研究弯曲空间的时候,由于爱因斯坦的数学能力有限,他就找了大学同学格罗斯曼,格罗斯曼是非欧几何方面的专家,他就建议爱因斯坦关注下黎曼几何,可以解决弯曲空间的问题。

除此之外,爱因斯坦还专门花了一年的时间,在大学里恶补了微积分。这才有了广义相对论的数学形式,而黎曼几何也就成为了广义相对论的基础。

为了能够真正地了解时空的弯曲,我们需要知道人类对空间几何的认识。

人类对世界的认识是从经验规律开始的,所以直觉在早期的科学发展中起到了非常重要的作用,因此跟大多数的人一样,数学家、物理学家一开始都认为我们生活在一个平直的空间中,处处均匀、处处平坦。

因此我们的几何学也是从平直的空间开始,那就是我们非常熟悉的欧几里得几何学,称为欧式几何。

欧式几何堪称人类早期逻辑思维的典范,它从5条公理出发,经过逻辑演绎推导出了23个定理,解决了467个命题。是人类建立的第一个完整的、逻辑严密的公理体系。

前面我们也多次提到,牛顿的《原理》以及爱因斯坦的《论动体的电动力学》在形式上跟欧几里得的《几何原本》是一样的,定义、假设、推导、结论!

所以说欧式几何非常的完美,也很符合生活经验,因此就统治了人类长达数千年的时间,人们也认为欧式几何完美地描述了物理现实,我们的宇宙就是平直的空间。

但是到了19世纪,人们就发现欧式几何中的第五条公设貌似存在问题,这条公设是对平行线的定义,说简单点就是,过直线外一点,仅可做一条直线与已知直线平行。

人们就觉得第五条公设表述得很复杂,看起来更像是个可以被证明的定理,而不是公设。所以大批的数学家就想利用前四条公设,去证明第五条公设,但是都遭遇了失败。

1920年代,俄罗斯的数学家罗巴契夫斯基另辟蹊径,使用了反证法想证明欧氏几何中的第五条公式。

他提出了一个和欧氏平行线公理相矛盾的命题,来取代第五条公设,即:过已知直线外的一点,至少可以做两条直线与其平行。

在加上前四条公设,罗巴契夫斯基经过一阵推理,结果发现得出来的结论在逻辑上没有一点矛盾。

所以罗巴契夫斯基就相信,根据新的公理体系推导出来的一系列新的定理,构成了一个完整的新理论。

这个新理论跟欧氏几何一样完备。成为了一个新的几何,称为罗氏几何。

在当时可以说所有的数学家都搞不懂,罗巴契夫斯基在说什么?尤其是看到他的文章中说,过直线外一点可以做两条以上的平行线,认为这是离经叛道的歪理邪说。

唯独高斯知道罗巴契夫斯基的新几何学,而高斯选择了沉默,因为当时欧氏几何得到了教会的支持,高斯年事已高,已经功成名就,他不愿意在冒任何风险,所以高斯也不敢表态。

因此罗巴契夫斯基在世的时候他的几何并没有机会发表,因为任何人一看都认为是在胡扯,我们生活在一个平直的空间中,怎么能存在这种奇怪的几何?

现在我们知道罗巴契夫斯基说的是双曲几何,也就是在负曲率曲面(马鞍面)上的几何。在这种曲面上,过直线外一点至少可以做两条直线与已知直线平行。

而且负曲率曲面上画一个三角形,其内角之和将小于180度。

1854年,高斯的学生黎曼,还发现存在一种几何情况,在球面上三角形的内角和将大于180°。

而且在一个球面上,无法做已知直线的平行线。黎曼更改欧氏几何的第五条公设,就发展出了椭球几何,称为黎曼几何。

可以看出欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何,这三种几何都描述了空间的形状,欧式几何描述的是平坦的0曲率空间,在其中可以做一条平行线,三角形的内角和等于180度,是其他两种几何的特殊情况。

罗氏几何描述的是弯曲的负曲率空间,也就是马鞍的样子,在其中至少可以做两条平行线,三角形的内角和小于180度。

黎曼几何描述的是弯曲的正曲率空间,也就是球形的形状,在其中不能做已知直线的平行线,三角形的内角和大于180度。

现在有了可以描述弯曲空间的几何,爱因斯坦的理论就有了坚实的数学基础,他利用黎曼发明出来的数学工具度规张量,从数学上描述了弯曲的时空结构,开创了广义相对论。

广义相对论认为,物质可以弯曲时空,曲率为正,空间曲率又告诉了物质如何运动!那么物质如何在弯曲的空间中运动?

当然是沿着空间的曲率运动,就像是我们在地球表面运动一样,按照的是地球表面的曲率在运动,当我们处在弯曲的空间中的时候,我们也会按照空间曲率运动。

那么空间的曲率又如何体现呢?就是测地线,比如在地球上,两点之间最短的距离是过两点的大圆弧,这个大圆弧就是测地线,而且这个测地线还体现了地球的曲率。

而在弯曲的空间中,测地线就是空间中两点之间最短的距离。光在空间中也不再沿着直线传播,而是沿着空间的测地线传播,测量弯曲空间中的测地线,我们就能测量出空间的曲率。

所以说,在我们的地球上根本就没有所谓的欧氏平面直线,只有曲线,而且在地球这个局部的正弯曲空间中,也没有所谓的平行线。

那么在整个宇宙中呢?欧氏几何中的平行线也只在局部成立,比如我们现在观察到可观测宇宙几乎是平坦的,没有任何曲率,所以在可观测宇宙这个尺度上,我们就认为存在平行线。

但是整个宇宙空间我们依然认为是一个正曲率,也就是整个宇宙是闭合的球体,因此我们现在认为宇宙是有限无界的,就像是地球表面,有限大小,但是没有界限。

你从地球表面不停的行走,找不到所谓的界限,只是在不停的兜圈子。宇宙也一样,朝着一个方向不断的前进,你会发现你其实是在兜圈子。

因此爱因斯坦曾经说过这样一段话,如果你一直盯着前方看,你会看到你的后脑勺。

意思是说,你的后脑勺反射出来的光,不断地飞行,会在宇宙中旅行一圈,又回到你的眼睛中,因为宇宙是一个闭合的球体。

所以对于整个宇宙的形状来说,也就是没有所谓的平行线了。