您当前的位置: 首页 >  博客资讯

数学与物理打架:将完美的铁球放在平面上,接触点无限小?

前几日有朋友问起一个问题:如果把一颗完美的圆铁球放在一块完美的平面上,球与平面的接触点是多大,它会是无限小吗?

平面上的铁球

这是个有趣的问题。从数学上讲,球体与平面相接触它就是一个点,点是一维的,表示无穷小。但实际上这不可能,因为无穷小的接触面积意味着压强无穷大。所以我们还是得从物理上来分析分析。

学过平面几何的朋友都知道,当一个圆与直线相切时,直线正好触及圆周上的一个点。圆周上任意一个点与其左右相邻的两个点都不处于同一条直线上。

但是当我们学到这个知识点时,你只能在头脑里“意会”圆与切线的关系,在纸上无论你怎么画,圆与直线相接触的都会是“一条线段”而不是一个点。

数学上的切线点需要“意会”

同样在数学上,一个球体与平面相接触,它们接触的也必然只是一个点,如果你认为那是一个面,说明你的想象力不够。

数学里许多最基础的东西都需要靠我们发挥想象,一维的“点”、“线”以及二维的“面”在现实世界中并不存在,至少在物理上你找不到绝对理想化的点线面,这些概念只是我们为了方便计算而创造出来。用笔在纸上戳一个点,或者画一条线段,老师会教我们说这是“点和线”,但你如果用放大镜观察它,便会发现那其实是一个墨迹留下的面;而要是将其放在显微镜下,你便能看到被染黑的纤维丛――它们既不是点线,也不是平面,而是“体”。

显微镜下铅笔在纸面画的线

在物理上,即便是最圆、最光滑、最完美的铁球,它依然是由一堆铁原子聚集在一起构成的物体。常温下,铁原子之间通过共价键形成一个个体心立方晶体,进而组合成铁。

用最先进的电子显微镜观察铁球,它的表面也不是光滑无暇,而是由铁原子核外围电子云簇拥着形成的一个个“球”。

铁球表面是紧密排列的原子

由此可见,我们认为“最完美”的铁球,在物理上也不完美,其表面并非我们想象的那么平滑,而是如同排列整齐的鸡蛋一般。

这些由原子“蛋”排列而成的表面无论接触到什么样的平面,它们的接触面必然不是一个“点”,而至少是“三个点”,因为数学老师告诉我们只有三个点才能构成一个稳定的面。

铁球真能以三个原子作为支撑点稳定放置在一个平面上吗?还是不行。因为当铁球与地面接触时,在引力的作用下,铁球与地面接触的地方会发生变形。

有朋友会说,铁很硬,我们用最硬的金刚石打造一个光滑平面,难道也会变形?当然会。

钻石表面是由晶胞构成的平面

金刚石由碳原子组成,在金刚石晶体中,每4个碳原子构成稳定的四面体晶胞。即使将钻石打磨得极其平整,物理结构决定了其表面也是如鸡蛋般交错排列的碳原子。

我们假设有一颗100克的铁球,它只有三个原子与“光滑”金刚石地面接触,计算一下接触点的压强。

铁原子的共价半径只有132pm【皮米,一万亿分之一米】,三个铁原子所构成的平面面积大约为3.48×10^(-20)平方米,一颗100克的铁球压力为0.98牛顿,作用在接触面的压强达到2.8×10^(19)Pa,约相当于2.78百万亿个大气压!

在如此巨大的压强下,铁球表面迅速变形,金刚石与铁球的接触面也会发生凹陷,于是二者的接触面积增大,直到压强与铁球自身的弹性模量(211GPa)平衡,这需要接触面数以十亿计的铁原子共同支撑才行!

铁球与地面接触时会发生弹性变形

现在你应该明白了:许多数学上常见的概念在现实中并不存在对应的物体;最完美的铁球也是由原子构成,它的表面不是绝对平滑;当将铁球放置在平坦表面,接触面的原子会因巨大的压强而移位,铁球变形,地面也会发生凹陷。于是球体与地面之间不再是一个点,而是一个由原子交错咬合形成的圆形区域。