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漫长的过程:坐标系是如何诞生的?

撰文 | 张伟伟

我们知道,坐标的意义在于将代数与几何联系起来,使两者贯通,使得能对自然进行数学描述。在力学分析中,可能不会有人怀疑坐标的价值,可以说力学的每一个分支都依赖于一定的坐标系。力学所研究的物体,每个都有自己的位置和形状,形状描述需要坐标;所研究的范畴,无论运动还是变形,还是需要坐标;有了坐标,力学描述才变得简洁、明了,很难想象,如果没有了坐标,力学会如何演绎。然而,坐标系虽然看似简单、但它形成却是一个十分漫长的过程。

从本质上讲,坐标就是一种位置参考。古代的天文学家们为了确定出天空中星星的位置,自然的用到了某种类似于坐标的方法,即对天空进行网格划分,根据网格位置来确定星体位置。古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus,约前190-前125,另译为依巴古,这是由于希腊文、拉丁文、中文翻译过程中所造成的)运用经度和纬度标出天空中点的位置,这就像是给天空画上了网格,利用网格可以标记和快速的找到各类星星。

欧多克索斯(Eudoxus of Cnidus, c.408-c.355BC)是古希腊早于喜帕恰斯的天文学家和数学家,曾向阿契塔和柏拉图学习过,他也曾使用过一种坐标体系标记天空中的星体位置。喜帕恰斯曾评价欧多克索斯在描述恒星位置时采用了恒星的极距(相当于赤道系统的偏角)、赤经(赤道,以赤道为参考面)、经度(黄道,以黄道面为参考)、极经度(混合两种参考),但没有提供天体纬度。

如果在平面上,经度相当于水平线,纬线相当于竖直线,从喜帕恰斯对欧多克索斯的评价可以看出,欧多克索斯的坐标系统,只能确定出星星的高度,并不能准确的定位星星。喜帕恰斯引入纬线,则可以准确的定位星星。

(a)黄道坐标系

地球绕太阳公转的轨道平面称为黄道,以黄道为参考平面

(b)赤道坐标系

假想过天球中心与地球赤道面重合的平面为赤道面,以赤道面为参考平面

图1 两种星空坐标系

后来这种网格坐标被古希腊数学家进行了改进,他们在一个平面底部画出一条水平线,然后在左侧画出一条垂直线(有时是倾斜的),平面内任意点的位置通过该点到水平线和垂直线之间的距离来确定。这样做的意义主要有两点:首先,把可见的网格转变成了隐形的网格,使空间看起更简洁;其次,由于测量距离的需求,引入了标准的公共设备――尺子,这就向着标准坐标系迈出了重要一步。

现在已无法考证是谁首先使用了这种方法,但是之后的阿波罗尼奥斯(Apollonius of Perga, c.262C c.190BC)在坐标系上的贡献被给予了极高的评价,阿波罗尼奥斯的坐标体系直接将古希腊几何一口气带到费马、笛卡尔等人发明现代坐标系之前(Wiki百科中的描述),阿波罗尼奥斯本人也被称为是古希腊仅次于阿基米德聪明的人。我们今天使用的椭圆、抛物线和双曲线的定义就是由他提供的,他还利用偏心轨道解释了行星为什么会有异常运动,这或许为开普勒偏心的行星运动轨道提供了启示。

在阿波罗尼奥斯的坐标体系中,他将水平线称为“直径”,这个称谓大概是因为古希腊对直径一词的含义要广一些,在圆锥图形中(如抛物线、椭圆、圆),将过顶点平分图形的直线。他将点到该“直径”的直线距离称为tetagmenos(意为“扩展”),类似于我们现在的纵坐标,这种情况下,“直径”就是我们熟知的x轴,“顶点”就是坐标原点,他将y轴定义为曲线的切线(参见图2)。

图2 阿波罗尼奥斯《伟大的几何》中的插图

The Conica of Apollonius ofPerga ‘the great geometer’ (c. 262-190 BCE) were translated into Arabic in the9th century CE

这样,我们已经看到阿波罗尼奥斯已经区分出了x轴,y轴,坐标原点,尽管它们使用了不同的称谓。在外在形式上,他的坐标轴只是一条直线,并没有方向,也没有负轴,相当于今天只在笛卡尔坐标系第一象限中进行研究。现代坐标系的建立并沟通代数与几何之间的联系,主要是费马(Pierre de Fermat, 1607-1665)和笛卡尔(RenéDescartes, 1596-1650)的贡献。

费马关于坐标系的工作是从阿波罗尼奥斯的《论平面轨迹》开始的,他借用了韦达(Fran?ois Viète, 1540-1603)在代数中系统地使用字母表达的方式,这为代数方法在几何中应用提供了便利条件。如图3所示,设有任意曲线,其上的点标记为J,J的位置由A、E给出(图中它们分别表示OZ和ZJ线段的长度),这个坐标系相当于现在的倾斜坐标系。费马的坐标系被认为是利用韦达的现代表示方法,重新翻译了阿波罗尼奥斯的坐标系。特点是没有使用y轴,没有负坐标轴。

图3 费马和他用坐标图形表达的曲线方程

费马叙述出了一条基本原则:只要在最后的方程里出现两个未知量,我们就得到一个轨迹,这两个量之一,其末端就描绘出一条直线或曲线,即J点的描绘出的轨迹。例如图3中,用x、y表示A、E,它们之间的关系就表示该曲线的方程,它的意义在于利用坐标系表示了代数方程,给出了曲线方程的意义,这无论是对于几何还是代数都是巨大的进步。

笛卡尔在坐标系上的工作更进一步,他首先批评了希腊几何与代数的不足,他称欧几里得几何中每一个证明,总是依赖于某种新奇的技巧,缺少可以通用的一般方法,这使得人们在想象力大大疲乏的情况下去练习理解力(几何的证明有时让人摸不着头脑)。他也批评代数,说它完全受法则和公式的控制,以至于成为一种充满混杂与晦暗,成为阻碍思想的艺术,而不是一门改进思想的科学(代数太过于抽象,不便于理解)。

但是,几何与代数的优点也是显著的,几何的形象直观,代数作为一般科学方法的重大优势,引起了笛卡尔的关注。这便促使他产生了把代数应用到几何中,发展一种同时融合两种方法优点的想法。这就是他的《几何》一书,他也采用韦达的字母体系。笛卡尔坐标系就是这一过程中提出来的,他主要完成了以下几个方面的工作:

1. 利用方程思想解决作图问题。例如假定某个几何问题归结为寻求一个未知长度的线段,设为x,并且知道x满足关系x^2=ax+b^2,其中a和b为已知长度。由代数给出的结果为

笛卡尔只考虑正根,不考虑负根。他强调对于未知量,必须假定已知,然后建立方程。

图4 笛卡尔利用代数解决几何作图问题的一个例题

2. 坐标系中的方程曲线。对于不确定问题,结果可能有许多长度作为答案,将这些长度的端点连接起来将成为一条曲线。笛卡尔的做法是先选定一条直线作为基线,如图5所示的A点为原点,x是基线上从A点量起的长度AP,y是PC的长度,它与基线所成角为固定角。

可以看出,笛卡尔与费马绘制曲线的方法,以及坐标的使用基本一致。但是我们看到,笛卡尔坐标系中原点A的两侧都有点或线,笛卡尔曾附带的讨论过取负坐标轴的情况,但是他并没有提出负轴的概念,他对坐标的讨论依然以第一象限为主。

图5 笛卡尔和他使用的坐标系

3. 笛卡尔建立了一般方程与曲线的关系,极大扩展曲线的范畴。古希腊只认为可以同直尺和圆规作出来的曲线为可靠曲线,但笛卡尔认为只要给定一个含x和y的代数方程,人们都可以求出它的曲线,这些曲线有些是全新的。因为在古希腊,人们只认可平面曲线(尺规作出的曲线)、圆锥曲线和少数的特殊曲线,如蚌线、螺线、割圆线和蔓叶线等。

4. 笛卡尔借助于坐标从事光学研究,给出了折射定律(这个定律一般认为是Snell给出,笛卡尔是否独立完成仍有争论)。笛卡尔还设计了一种能将光线汇聚在一点的透镜。他还解决了一个一般性问题:什么样的曲面作为两种介质的交界面时,从第一种介质内一点发出的光线射到曲面上折射进入第二种介质恰好汇聚于一点。笛卡尔给出了一种卵形线,并给出了曲线方程。

图6 笛卡尔卵形线(坐标系是后人加的)

费马对于坐标的研究主要目的在于继承希腊人的思想,主要是阿波罗尼奥斯的思想。但笛卡尔利用坐标提出了更为一般的处理方法,大大超越了费马。也正是由于笛卡尔,使人们认识到了坐标系的伟大,并由此诞生了解析几何。

但是,笛卡尔有关坐标的发明,起初并没有得到科学家的欢迎。许多科学家认为笛卡尔只是提供了一种几何分析方法,所得到了科学结论仍没有挑出古希腊几何成就,只能说这些科学家只看重知识本身(几何知识)而没有发现获得这些知识方法(坐标几何法)的价值。

另一个原因来自于笛卡尔自身。笛卡尔为了表示自己工作的高深,许多地方故意写的模糊不清,他曾自称说欧洲的数学家几乎没有一个人能看懂他的著作。在一些地方故意做了删减,称他不愿意夺去读者自行加工的乐趣,这或许是一种冠冕堂皇的说法,实际上是担心如果书写的太过于易懂,那些自命非凡的人将会称笛卡尔所写的东西都是他们已知的东西(欧洲科学界多项优先权之争的副作用)。

随着笛卡尔解析几何的推广,坐标系也逐渐被改进与完善,这主要得益于范斯库藤(Frans van Schooten,1615-1660)和沃利斯(John Wallis, 1616-1703)。范斯库藤是荷兰数学家,1632年与笛卡尔相识,并阅读了他尚未出版的《几何》一书,当时觉得难以理解,后来对《几何》做了重要的注解,翻译成拉丁文于1649年出版,后来又多次再版,这为笛卡尔坐标方法的推广起到了关键作用。更为重要的是,范斯库藤还给出了坐标变换――从一条基线(x轴)到另一条基线变换的代数式,这可能是坐标变换的最早工作。

沃利斯是一位英国牧师和数学家,他的主要贡献在于推动了无穷小微积分的发展。我们在高数中学习到的无穷大的符号∞,就是他发明的,同样他用1/∞来表示无穷小。沃利斯在坐标系上的贡献在于他引入了负坐标,将坐标几何的研究由第一象限推广到了四个象限,再后来牛顿又用了沃利斯的坐标体系,使得解析几何有了快速的普及。

图7 范斯库藤(左)和沃利斯(右)

牛顿在《流数法与无穷级数》一书中还发明了新的坐标体系。17-18世纪坐标系的标准是一个x轴,一个与x轴垂直或成某一角度的y轴。牛顿则采用了固定点和通过该点的直线作标准(类似于极坐标),他还采用了双极坐标,点的位置决定于该点到两个固定点的距离。不过,牛顿的这些成果大约形成于1671年,但出版却到了1736年。而雅各布.伯努利(JakobI. Bernoulli, 1654-1705)于1691年在《教师学报》上发表了有关极坐标的成果,因此通常认为是雅各布首先发明了极坐标。

17世纪中后期,由拉伊尔(Philippede La Hire, 1640-1718,法国数学家)、约翰.伯努利(JohannBernoulli, 1667-1748)、帕朗(Antoine Parent,1666-1716)、欧拉(Leonhard Paul Euler, 1707-1783)等人的工作,将平面坐标系发展为空间三维坐标系。

坐标系的伟大在于它沟通了几何与代数,首先,几何的概念得以用代数表示,几何的目标也可以通过代数求解获得。反过来,又可以利用几何来解释代数,使代数具有了形象直观的优势,还可以借助几何去发现那些新的代数结论。拉格朗日曾对这一结合做出过非常高的评价,他说:“只要代数同几何分道扬镳,它们的进展就是缓慢的,它们的应用就十分狭窄。但当它们结伴成侣时,它们相互吸取新鲜的活力,就会以快速的步伐走向完善。”

毫无疑问,力学的学习也必须将代数与几何联合起来,无论是力学的研究对象(物体位置或形状)还是研究内容(运动或形变),都离不开坐标系,只有在坐标系的框架下,实在物体的运动或形变,才抽象成了数学,力学才得以演算。这对于我们的启示在于:孤立代数与几何来学习力学就会变得艰难。只有同时将代数和几何联合起来,使其在力学的框架内成为伴侣,它们就会相互吸取新鲜活力,学习者就会以较快的步伐进入力学的殿堂!

别忘了,实现这一目标唯有依靠坐标!

参考文献

[1] 莫里斯.克莱因.《古今数学思想》,上海科学技术出版社. 2014.1

[2] 百度、维基等百科知识。

本文经授权转载自微信公众号“力学酒吧”,原标题为:《浅谈坐标系的发展与形成》。