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为“数学大统一理论”搭建桥梁的数学家

数学的目的是并不是证明几个孤立结论,而是探索未知的逻辑关系。就这层意义上说,Langlands 纲领或许是近几十年来最重要的数学成果――即便它只是一些未经证实的猜想。

Langlands 纲领源于 1967 年加拿大裔美国数学家 Robert Langlands 写给著名法国数学家 André Weil 的一封信,在这封信中,他建立了表示论/自守形式与代数数论中 Galois 群的联系。如今,由此生出的数学理论已经涉及到数学的方方面面,甚至有几何 Langlands 纲领涉及物理学中的规范场论。让我们跟随女数学家 Ana Caraiani 的脚步,一窥数学的大一统理论。

Ana Caraiani,站在帝国理工学院附近的Serpentine桥上,从事数学研究,为该领域里遥远的分支架起桥梁。图片来源:Philipp Ammon/Quanta Magazine

采访者 | Steve Nadis

受访人 | Ana Caraiani(帝国理工学院教授)

翻译 | 张和持

Ana Caraiani 在普林斯顿大学的本科毕业论文由安德鲁・怀尔斯(Andrew Wiles)指导。怀尔斯是一位著名数学家,1994年,就是他证明了 费马大定理。这位名声在外的学者交给学生的问题自然困难重重,而 Caraiani 并没有她导师当年的运气。不过,虽然并没有取得显著的进展,她也不曾气馁。

Caraiani说,"这个题目的重点不一定是解决这个问题。我认为怀尔斯在教我,不应该把所有的时间都花在你知道如何做的事情上。那些真正困难的问题值得花时间去解决,只是可能真的太难了。”

在做毕业论文的过程中,她学到了很多数学研究的方法。“你不可能总是按部就班地做数学。如果你卡在了问题的某个部分,就先别管它,去做其他部分。” Caraiani后来进行了非常广泛的合作研究,目的是将数学的各个不同领域联系在一起,而做毕业论文的经验让她受益匪浅。她所从事的研究被称为 Langlands 纲领,由加拿大数学家Robert Langlands于上世纪 60 年代建立。这是当今数学界最为庞大,最富野心,同时也是最具挑战性的任务。

Caraiani 现在担任伦敦帝国理工学院教授,同时获得了皇家学会大学研究奖学金(URF)。她从来都不回避任何挑战。在罗马尼亚首都布加勒斯特长大的她,经常会遭遇与她自身能力无关的挫折。2001年,作为一名高中生,她成为数十年来第一个有资格参加国际数学奥林匹克竞赛(IMO)的罗马尼亚女性,并在当年摘得一枚银牌,此后两年又连续摘得金牌。不过尽管获得了如此成功,她仍然感觉自己是不受欢迎的,也很少得到鼓励。

“有些人,包括举办大赛数学老师们,都让我不要抱太大期望,”她说。“而我想要证明他们都错了。”

Caraiani 对Quanta杂志讲述了她追求数学的经历以及研究 Langlands 纲领的工作,而后者可以理解为“通向数学大一统理论之路”。为了让文章更加清晰,我们对采访内容进行了压缩与编辑。

Caraiani 致力于当今最雄心勃勃的数学项目之一,即Langlands计划。这是一项高度协作的努力,她经常与帝国理工学院的同事在Dalby Court会面。图片来源:Philipp Ammon/Quanta Magazine

你闯进男性主导的 IMO 之后,情况有没有发生转变?

当时我在高中从来不被人看好,而如今学校的女生会得到很多鼓励。不过即便如此,我还是看到自己身边的人遭受隐晦的歧视。如果别人都视你为异类,那么要开展研究或是建立长期合作关系就会困难重重。而且你很难被认真对待,每次都必须得证明自己的能力。

我意识到,其实相比大多数同行,我一直很幸运,现在也已是小有名气。不过我还是觉得,数学界并不像它应有的那么包容――不仅仅是对于女性,对其他弱势群体也是一样的。在我研究的领域中更是这样,Langlands 纲领的研究需要大量专业知识,就连入门也存在巨大的障碍。

我只能尽自己所能帮助他人,一起探索这一惊人的领域,不过我觉得还是不够。我努力为女性,以及其他弱势群体提供生存空间,争取会议席位,让她们参加我的研究小组。我很高兴自己的研究小组中女性占比高于平均水平。

是什么吸引你来到这个惊人领域的?

我2007年从普林斯顿大学毕业,那时怀尔斯鼓励我去哈佛大学深造,那样我可以跟 Richard Taylor学习――他对费马大定理的证明做出了关键贡献。而我之所以做 Langlands 纲领正是随的他。

不过对于我来说,还有更深层次的吸引力。Langlands 纲领是要旨,从本质上说是给数学的不同分支建立联系。而我喜欢数学的所有分支――数论、分析、几何、拓扑等――如果我做 Langlands 纲领的话,就不必将自己的研究限制在任何分支中。如果我们遇到还不会证的猜想,就可以尝试联系其他数学分支,用其他相关工具,就有可能取得进展。

在你的事业中,所谓“进展”是什么意思呢?

我和同事们所做的工作,就是在不同数学分支间搭起桥梁――具体来说,桥的一边是Galois 群与Galois表示,另一边是模形式与其推广。

我们从Galois群说起。比方说 x2-3=0这个多项式方程,它的解,或者说根,是

。显然,这两个数字是关于y轴对称的。所谓Galois群并不是多项式方程根的群,而是根的对称群。

而如果考虑次数为5的多项式(次数指最高次项次数,比如x5或y5),这时方程就变得非常复杂,其 Galois 群也变得复杂。Galois表示可以用来简化问题,这时我们就不必研究整个Galois群,只需要观察它的某些部分,或者说截面。就像是取3维物体的2维截面一样;虽然截面并不包含所有原始信息,但很多时候也够用了。

那桥的另一边呢?

模形式是一种高度对称,定义在上半复平面上的函数,其中我们用x轴代表实数,y轴代表虚数(也就是

的倍数)。我们只考虑性质“良好”或者说光滑的函数,也就是指函数不会跳跃,也没有尖突。也可以说函数是可导的。

我们可以把上半复平面分成小区域,或者说“瓦片”。而由于对称性,我们只需要知道其中一个瓦片上的函数值,就可以知道所有值。接着,我们可以取无穷多个瓦片,并把相邻的粘在一起,这样就产生了一个曲面,我们称为模曲线。

即便这些都是完全不同的概念,也能通过 Langlands 纲领来说明他们的等价性?

没错,连接模形式(属于分析)与Galois 表示(属于数论与算数几何)的桥梁,最初建立于上世纪 70 年代,从那时开始,研究人员就一直在加固这座桥。

在Langlands对应中,我觉得最神奇的莫过于:你可以用完全不同的方法,分别在模形式和Galois两边得到同样一串数字。你要做的,基本上就是把模形式――也就是那些高度对称的函数――分解为正弦函数和余弦函数。这样你就能得到三角函数的系数。而对于Galois这边,你只需要数一下多项式方程的根的个数。

能在实际计算中观察到这种现象,即便对我来说,也非常震惊。因为要真正建立这样的联系,得用到比这多得多的数学对象。

“我和同事们所做的工作,就是在不同数学分支间搭起桥梁。”图片来源:Philipp Ammon/Quanta Magazine

来回的两个方向需要不同的桥吗?

的确是这样。第一座桥是单向通道。如果你想从 Galois表示这边开始,往模形式那边走,就可以使用Taylor-Wiles方法,这个方法最早是用来证明费马大定理的。现在我们已经能双向行走了。

为什么要这样大费周章?通过这些桥梁还能让你们做些什么?

建立这些关系,展示不同数学之间的共同点,能带来智力方面的满足。当然,它也是有实用价值的。对于某些数学问题来说,在桥的一边会比另外一边更容易解决。面对一个很难的数学问题,我们经常需要在其中一边做一些研究,然后再到另一边做更多工作。为了证明某些命题,你可能需要来回过桥,这样你就必须得能在两个方向上自由穿行。

在这个领域中,一个重要的目标是要在更一般的条件下造桥。这样我们就能让Langlands 纲领的研究范围不断扩张。

在造桥过程中,你做出了什么贡献呢?

数学家们已经意识到Taylor-Wiles方法对局限性:它针对2维情况效果良好,但在3维就失效了。2012年,Frank Calegari和David Geraghty想到了一个改进方法,以适用 3 维情况。然而他们表示,要让这个方法起作用,首先得解决他们提出的三个猜想。

我的同事Peter Scholze在2013年解决了第一个猜想;这个猜想建立了第一座桥――从模形式到Galois,这座桥远比原来的2维情况要宽的多,这样才能与3维情况下出现的新现象相容。

在2015年年底,Sholze 和我意识到,我们最近的工作可以用来解决第二个猜想,要是这个猜想得到证实,就能精确控制这座桥着陆的位置。虽然这个方法失败了,但是我们又想出了很有希望的新方法。这时,Taylor建议我们在普林斯顿高等研究院(IAS)组织一场研讨会来完善我们的工作,想办法解决第二个猜想。

虽然Caraiani不认为Langlands纲领最终能解释数学中的一切,但她觉得有一天它可能会连接起数学的所有领域丨图片来源:Philipp Ammon/Quanta Magazine

为什么要跟让别人来参与这项工作,而不是自己解决第二个猜想?

整个证明过程从几何跨越到数论。Sholze 和我做的是几何部分,但我们认为自己并不是数论方面最好的人选。我们觉得寻求合作能让项目进展得更快。

结果如何呢?

我们已经解决了第二个猜想这个目标,并且找到了一个方法来绕过第三个猜想。我们建起了反方向的桥――由Galois到模形式的3维情况。这让我们成功越过了Taylor-Wiles方法失效的障碍。而且这座桥不单单是对3维,对任意维也是有效的。论文已经在 2018 年圣诞节那天挂到网上,现在正在接受期刊的审校。

现在你又在做什么研究呢?

我们对Calegari和Geraghty的第二个猜想,只在两种特殊情况下做出了证明。现在我正在与之前 10 位合著者之一的James Newton合作,想办法在最一般的条件下证明这个猜想。

我还是对第三个猜想很感兴趣,即便我们之前绕过了它。它预测了志村簇(Shimura varieties)的某些性质,而我对此兴趣浓厚,希望今后能对它有更深的了解。

另外,还存在某些情况,我们对于如何造桥一无所知。在我们的领域中一个重大的目标就是在尽可能一般的条件下造桥,比如使用任意数系上的多项式。这样我们就能扩展 Langlands 纲领的研究范围。

这种统一最终能走多远?

我并不认为Langlands理论有一天能解释所有数学,不过我还是认为,它起码能触及数学的所有方面。

Robert Langlands的确高瞻远瞩。他在几十年前建立了一整个网络的猜想,而这个领域的范围也逐步扩大。我们跨过的桥越多,能提出的新猜想,能前往的新目的地也更多。似乎这些取得的进展,都是为了让我们看到前方更为广阔的天地。我并不认为任何人会期待这个纲领走向终结。

本文译自 The Mathematician Who Delights in Building Bridges,原文链接:https://www.quantamagazine.org/ana-caraiani-delights-in-building-mathematical-bridges-20211117/