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趣味数学游戏:隐藏在生活中的超越数(上)

关于自然常数e的快乐谜题,难倒不少专业数学从业者,看看你能解决哪个?

撰文 | Pradeep Mutalik

编译 | 哪吒

图片来源:James Round/Quanta Magazine

π是我们所熟悉的超越数,因为它无处不在,但是欧拉数e是如何超越普通数的呢?

在日常语言中,"transcendental"这个词指的是某件超乎寻常的事,是隐秘且难以理解的,具有近乎于魔法或神秘的力量。另一方面,在数学中,“transcendental”一词的含义较为平凡。它简单地描述了一类数――超越数――它们不可能是多项式方程的解,如ax3+bx2+cx+d=0,其中系数a, b, c, d都是有理数,x的最高次幂可以是任何正整数。正如伟大的数学家欧拉(Leonhard Euler)所说:“它们超越了代数方法的力量。”

然而,“transcendental”这个词的日常内涵对于两个最著名的超越数――普适常数π和e――来说是真实的。这两个数字确实神秘而强大,并表现出几乎魔法般的性质。它们在数学的许多分支中发挥着核心作用,在你最意想不到的时候出现在问题的解决方案中。在这两个数中,π对我们大多数人来说要熟悉得多。每个学生都知道它的近似值,并在计算中使用过它。但另一个,欧拉数(自然常数)e或2.71828…,相对来说人们就不太清楚了。事实上,查尔斯・厄米特(Charles Hermite)在1873年证明了e是第一个非构造的超越数。这里须明确指出“非构造”(non-constructed),因为在1850年,约瑟夫・刘维尔(Joseph Liouville)提供了第一个可证明的超越数的例子――但这个数是他为那个唯一目的而构造的,它并不是自然地出现在任何数学分支中。当然,这使得它与e有很大的不同,后者在数学中几乎无处不在。许多人知道e是自然对数的底,并且出现在复利和指数增长、衰减等理论中,但在这些领域中我们去计算时并没有明确遇到e。今天将讨论一些普普通通的问题,其中e会意外出现,使我们对它的普遍性有大概的了解。

像π和其他超越数一样,e有一个无限的小数表示――它的数字无穷无尽,没有任何规律可循。即便如此,e的前15位数字还是有一个好玩的规则模式,而且很容易记住,只需如下分组:2.7 1828 1828 45 90 45。当然,这种规律性纯粹是巧合――其余的数字是完全随机的。但e有几个惊人的特性,使它在所有数中独一无二。在这一系列的谜题中,你将了解到其中的一些属性,有一些是经典的,当然,还有我自己添加的。欧拉数e会在它们中自然地出现,即使你只是模糊地理解e出现的原因,也能欣赏它们。这种transcendental显灵的确切细节就留给那些受过必要数学训练的人。看看谁能用最简单的方式表达这种联系。

谜题1:分解

任意取一个数,比如10,把它写成某些等大小的数的和,比如两个5,然后乘起来:5 × 5 = 25。现在可以把10写成3个,4个,5个或6个等大小的数的和,然后做同样的事情。在做乘积的时候会发生什么?

2 等分:5 × 5 = 25

3 等分:3.33 × 3.33 × 3.33 = 37.04

4 等分:2.5 × 2.5 × 2.5 × 2.5 = 39.06

5 等分:2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32

6 等分:1.67 × 1.67 × 1.67 × 1.67 × 1.67 × 1.67 = 21.43

可以看到乘积数增大,然后似乎达到最大值,之后开始减少。尝试对其他一些数(比如20和30)执行相同的操作。你会发现,在每种情况下都会发生同样的事情。这与数本身无关,而是由e的独特属性引起的。

a. 看看你是否能弄清楚乘积何时达到给定数的最大值,以及这与e有什么关系。

提示:当每个等分的数值最接近e时,乘积达到最大值。

b. 对于数10,最大的乘积(39.06)比第二大乘积(37.04)大约 5.5%。在不计算实际差异的情况下,你能否猜出小于100的正整数中,哪个数在最大乘积和第二大乘积之间的百分比差异最小?为什么会这样呢?

c. 你能解释一下为什么e会出现在这个看似简单的问题中吗?

谜题2:相亲

一位亿万富翁的未婚继承人陷入困境。根据继承条款,他需要在21周内结婚,否则将失去他的份额。尽管期限很短,但他决心选择最好的伴侣,所以他在一个名为e-marriage的婚姻app上注册了。该应用程序具有以下规则:它的专有算法可以立即为用户匹配一位与用户要求高度符合的候选对象,每两周匹配一次。在这两周里,用户必须与候选人见面,了解他/她,要么接受,要么拒绝。候选人一旦被拒绝,就不再被召回。

继承人的想法是,他可以在20周内遇到10名非常匹配的潜在候选人,并在截止日期前的最后一周结婚。但他仍然希望将选择最佳伴侣的机会最大化。因此,当他了解候选人时,他会给每个人分配一个等级。问题是,他无法预测他没有见过的匹配者的排名,也无法预测他拥有的匹配者的最终排名。如果太早接受一个人,他可能会错过后面更好的;如果等待太久,他可能已经错过了最好的那个。

a. 假设没有排名相同的情况,继承人如何最大限度地提高选择最佳伴侣的机会?b. 如果有10%的概率两人并列第一,那么继承人遇见最佳伴侣的机会如何变化?

c. 这是一个经典问题,其解与e有关。你能解释一下e是如何进入答案的吗?

虽然这个经典问题着眼于最大化继承人选择最佳生活伴侣的机会上,但即使是e也无法保证transcendental的幸福。这是因为,如果最佳候选人提前出现并被拒绝,继承人可能会在第20周结束时被排名低得多的候选人困住。如果目标是选择最好的候选人之一,但不一定是最好的候选人,则需要一种更实用的方法。如果我们假设10名候选人的排名从1到10,其中1是最高排名,希望有一种方法,比如说,大多数时候,选择前三名或前四名之一。

d. 在这种更实际的选择场景中,继承人如何才能选到候选人的最高预期排名?最后,对于那些没玩够的读者来说,这里还有一个更难的谜题。

谜题3:亲密无间

让我们假设继承人成功了,而且他确实找到了婚姻的幸福,并继承了巨额财富。这对幸福的夫妇决定去一个仅限情侣的度假胜地度假。在那里,一个大礼堂安排了一场独家音乐会。入场方式是先到先得,当然,观众仅由伴侣组成。当一对夫妇进入礼堂时,他们随机选择两个相邻的座位。每对夫妇都会做同样的事情,一般情况下,这会导致两对夫妻之间会剩下单个的空座位。持续入场直到只剩下单个的座位,然后礼堂宣布满员,表演开始。

a. 当停止入场时,预计有多少比例的空座位?

b. e是如何进入这个双人大礼堂的?

这就是关于超越数的趣味内容。希望你喜欢解决这些谜题,也许可以了解一些你以前不知道的欧拉数e的神奇性质。所以,令人费解的快乐谜题,这里祝愿你在超然冥想中实现“e-和谐”。

本文译自Where Transcendental Numbers Hide in Everyday Math 原文链接:

https://www.quantamagazine.org/where-transcendental-numbers-hide-in-everyday-math-20211027/