您当前的位置: 首页 >  博客资讯

趣味数学游戏:隐藏在生活中的超越数(下)

两周前,我们推送《趣味数学游戏隐藏在生活中超越数(上)》一文,提出了几个在生活场景中可能出现超越数e的数学问题。它们是如何进入谜题中的?e为什么是“最佳的”?本文将给出解答!

撰文 | Pradeep Mutalik

编译 | 哪吒

上个月,我们给出三个谜题,它们看起来很平常,却包含了数的曲折故事。故事背后是神秘的超越数(欧拉数)e。我们最熟悉的就是它作为自然对数的底。e是一个普适常数,且有一个无限的小数表示:2.7 1828 1828 45 90 45…(这种间隔书写只是为了显示小数点后面15位数字的某种规律性)。那么,它为什么突然出现在我们的谜题中?

在回答这个问题以前,我们需要对e的性质有更多的了解。如同它的超越数兄弟π,e有无数多种表达方式,比如写成无穷级数的和,无限多个数的乘积,无限序列的极限,以及一个惊人的正则连分数等等。

我还记得第一次学习e的情景。那时我们在中学学习普通对数,我惊叹于如果把所有数表达为10的分数次方幂,它就能够将复杂的乘法转化为简单的加法。然而,我想知道,分数次幂与无理数幂是如何计算出来的?当然,计算整数次的方幂很容易,比如10^2,10^3,必要时,甚至可以通过求10^5的平方根来计算10^2.5。但是,就像对数表那样,20就是10^1.30103,他们是如何得到的?如何从头开始构造一个完整的对数表呢? 我简直无法想象这是怎么做到的。

这个公式表明e^x在所有点处的变化率就等于自身的值。如果表示时间,此式表明增长(或衰减,对于-x)的速率等于迄今为止积累的规模或数量。现实世界中有无数的现象在某个时间段内就是这样的,而且我们也知道它们是指数增长或衰减的例子。但是,除了实用性之外,e的这个属性中还有一种审美上表现出完美和自然的元素,能够真正激发人们的好奇心。它甚至带有道德教训;我喜欢把它想象成一个禅宗式的功能,在追求增长的过程中,它总是处于完美的平衡,永远不会超出或低于它所获得的。

警告:在下面的谜题解决方案中,我们将涉及比本谜题专栏中常见的更高级、看起来更可怕的数学。如果这些方程式让你目光呆滞,也不用担心;试着遵循一般的论点和概念。我希望每个人都能对我们的谜题有所了解,不管它是如何出现的,为什么会出现。在BBC的系列剧《人类的攀升》(The Ascent of Man)中,Jacob Bronowski在谈到John von Neumann的数学著作时说,阅读数学时遵循概念论证的调子是很重要的――方程式只是“低音部分的管弦乐”。

警告:在下面的谜题解决方案中,我们将涉及比本谜题专栏中常见的更高级、看起来更可怕的数学。如果这些方程式让你目光呆滞,也不用担心;试着遵循一般的论点和概念。我希望每个人都能对我们的谜题有所了解,不管它是如何出现的,为什么会出现。在BBC的系列剧《人类的攀升》(The Ascent of Man)中,Jacob Bronowski在谈到John von Neumann的数学著作时说,阅读数学时遵循概念论证的调子是很重要的――方程式只是“低音部分的管弦乐”。

现在让我们试着找出e在谜题中是如何出现的。

谜题1:分解

问题a的解答:

在上篇中曾经给出提示:当每个等分的数值最接近e时,乘积达到最大值。更准确地说,当等分的数值处于e的两侧时,达到两个最大的乘积。对于我们这里考虑的比较小的、日常级别的数,当等分的数值与e相差最小的时候,可以取到乘积的最大值。

问题b的解答:

从上面可以很容易地看到,当两个相邻的等分的数值与e的距离几乎相等时,两个乘积将是最接近的,一个比e低,另一个比e高。(只有当函数围绕e对称时,这是严格正确的。这里它不是,但在这个范围内,它足够近,正如读者Michel Nizette出色地解释的那样。)

如果原始数是N,那么当比率N/e的小数部分接近0.5时,即当N/e接近两个整数的中点时,这种情况就会发生。因此,如果你构造一个N/e表,其中N从1到100,然后寻找最接近0.5的小数部分,你将得到所需的整数:53。53除以e得到19.4976,而将53分别19等分和20等分得到的乘积相差仅为0.0013%。

谜题2:相亲

正如读者所指出的,这是著名的秘书问题的重述。要点概述如下。

继承人必须根据以下规则从10个潜在的配偶候选人中选出最好的一个。候选人一个接一个地接受面试,在考虑下一个候选人之前,要么被接受(如果被认为是最好的),要么被拒绝。被拒绝的候选人不能被召回,一旦候选人被接受,流程就会停止。如果流程还没有结束,则在默认情况下必须接受最后一个候选对象。

问题a的解答:

a.假设没有排名相同的情况,继承人如何最大限度地提高选择最佳伴侣的机会?

这种情况要求继承人无条件地拒绝特定数目的候选人( “拒绝”阶段),然后进入“选择阶段”――在这个阶段中,继承人从剩余的候选人中选择第一个排名高于先前所有被拒绝的候选人。当拒绝阶段有一个特定的长度时,选择最佳候选人的机会是最大的。如果拒绝阶段较长(最好的候选人更有可能被拒绝)或较短(他没有足够的经验来对候选人进行适当的排名,导致接受排名较低的候选人),那么选择最佳的概率就会下降。

这被称为“最优停止”(optimal stopping)[2]问题,e出现在其解中是因为它具有最优性。对于大量的候选人n,最初被拒绝的候选人数量应该等于n除以e。

这里是n = 10的概率计算,如果拒绝阶段(r) = 3,即拒绝3人,让我们来看看答案是多少。

首先,请注意,最佳候选人可能会在10次面试的任何时刻出现,有1/10的概率(1/n)处于任何特定的位置。对于每个面试者的位置(i),我们将这个1/10乘以最佳候选人将在该位置被选中的概率。然后我们把所有位置的概率加起来,建立一般表达式。

问题b的解答:

b.如果有10%的概率两人并列第一,那么继承人遇见最佳伴侣的机会如何变化?

由于继承人现在有两个排名第一的候选人,找到最佳候选人的机会增加了。

问题c的解答:

c.这是一个经典问题,其解与e有关。你能解释一下e是如何进入答案的吗?

e在这个谜题中两次进入场景! 当n变大时,欧拉数出现在做出最佳选择的概率中,以及最初拒绝人数的比例中。

我们上面推导的概率表达式可以表示为n→∞当时的极限,用x代入r/n(拒绝的比率),用p代替(i-1)/n(在每个n处的增量概率),用dp代替1/n(从一个整数到下一个整数的变化率)。

于是概率的极限为:

问题d的解答:

d.在这种更实际的选择场景中,继承人如何才能选到候选人的最高预期排名?

在上面的经典场景中,继承人采取了一种全有或全无的策略,即拒绝前几个候选人,然后选择第一个比所有被拒绝的候选人更好的候选人。虽然这确实最大化了找到最佳候选人的可能性,但如果最佳候选人在最初的落选者中,也可能导致他被一个排名较低的候选人所困。为了避免这种情况,他的最佳实用策略是一开始就非常挑剔,并寻找最好的候选人,然后随着候选人数量的减少,降低挑剔程度,选择那个基本满足“好”的候选人。

谜题3:亲密无间

一个大礼堂正在上演一场只允许夫妇入场的演出。当一对夫妇进入礼堂时,他们随机挑选一对紧挨着的座位。每一对新婚夫妇都这样做,在很多情况下,这会导致夫妻之间有空座位。持续入场直到只剩下单个的座位,然后礼堂宣布满员,表演开始。

问题a的解答:

a.当入座停止时,预计有多少比例的空座位?

这些数字除以席位数就得到了空缺席位的比例,有读者计算出10个席位的比例为16.24%,100个席位的比例为13.804%,1000个席位的比例为13.561%,6000个席位的比例为13.538%。你可以看到数字接近或13.5335…%。但是我们怎么知道这就是它们的目标呢?因为它们的关系需要很长时间才能计算出来。

递归关系虽然很好,但它就像试图一步一步地爬一个无限的楼梯。我们真正需要的是一个只依赖于n的封闭表达式。一个封闭表达式就像一台电梯。对任意n按下按钮,嗖! 电梯会带你到那里,甚至可以直达楼顶,那里的视野是无限的。

注释

[1] Wolfram Alpha是一个智能计算工具,网址为ttps://www.wolframalpha.com/

[2] 可参考 《最优停止理论 Optimal Stopping Theory 经典秘书问题 Classic Secretary Problem》 https://blog.csdn.net/hilda_Huang/article/details/8099202

本文译自Where Transcendental Numbers Hide in Everyday Math 原文链接:https://www.quantamagazine.org/why-eulers-number-is-just-the-best-20211124/

特 别 提 示

1. 进入『返朴』微信公众号底部菜单“精品专栏“,可查阅不同主题系列科普文章。

2. 『返朴』提供按月检索文章功能。关注公众号,回复四位数组成的年份+月份,如“1903”,可获取2019年3月的文章索引,以此类推。

版权说明:欢迎个人转发,任何形式的媒体或机构未经授权,不得转载和摘编。转载授权请在「返朴」微信公众号内联系后台。